标签： 微分方程

1 前言

MST method 是由 Mano, Suzuki, and Takasugi $($MST$)$ [1]建立的一种得到一些较特殊的微分方程的解析解的一种方法。这种方法最初是为了解决Teukolsky equation[2]而建立的。

在此之前，已有一些求解 Teukolsky equation 解析解的相关工作[3]-[5]。尤其强调的是Leaver[5]做了一些系统性的工作。

考虑到写这篇笔记的目的是：记录在复算相关论文时遇到的障碍以及解决的过程，从而希望整理出MST method的较为详细且通顺的逻辑。于是就不再强调过多的背景内容。

考虑到笔者能力有限，可能会在一些细节上理解不透彻甚至有误。希望读者多多包涵并联系我们指出不足之处^ω^。

2 内容

这里以解决GMGHS时空下无质量的标量波被散射的问题[6]为背景，来介绍MST method 的应用。

Klein-Gordon Equation：

$$\nabla_\mu\nabla^\mu\Phi=0$$

对其分离变量后会得到一个较为复杂的径向方程：

$$\Delta\frac{d}{dr}\left(\Delta\frac{dR_{\omega l}}{dr}\right)+\left[G(r)^2\omega^2r^4-\Delta l(l+1)\right]R_{\omega l}=0$$
其中
$G(r) = 1-\frac{Q^2}{Mr}$
$\Delta=\left(r-r_+\right)\left(r-r_-\right)$
$r_+=2M$ , $r_-=2Mq^2$

这里我们不过多关注方程中参数的具体含义。论文[6]在视界$r_{+}$附近和无穷远处，分别得到了两个有各自收敛范围的解析解。两种解的获取方法是类似的，这里以较为复杂的无穷远处的情况为例来讲解。

对径向方程中的变量做线性变换并使其无量纲化:
$$x=-\frac{r-r_+}{\kappa r_+};\kappa=1-\frac{Q^2}{2M^2};\epsilon=2M\omega$$
方程变为
$$x(1-x)\frac{d^2 R}{d x^2}+(1-2x)\frac{d R}{d x}+UR=0$$
其中
$$U=\frac{\epsilon^2}{x}+l(l+1)-(1+2\kappa)\epsilon^2+(2+\kappa)\kappa\epsilon^2 x-\kappa^2\epsilon^2 x^2$$

（最近有点忙，有空慢慢写）

引用

[1] arXiv:gr-qc/9603020v3 19 Mar 1996
[2] S.A.Teukolsky,Astorophys.J.185,635$1973$.
[3] D.N.Page,Phys.Rev.D13,198$1976$.
[4] A.A.StarobinskyandChurilov,Sov.Phys.JETP38,1$1974$.
[5] E.W.Leaver,J.Math.Phys.27,1238$1986$.
[6] Eur. Phys. J. C $2020$ 80:654