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一、（流形上的）切向量与切空间
I. 切向量
切向量：直觉
在欧几里得空间 $\mathbb{R}^n$ 中，向量可视为“从某点出发的有向线段”或“箭头”，即一种方向与大小的表示。然而在一般光滑流形 $M$ 上，整体空间不再线性，不能直接沿直线平移向量。但我们仍可在每一点定义“某方向上的运动趋势”。
切向量：严格定义
定义流形上某点 $p\in M$ 上的切向量
有两种等价但本质的方式：
- 几何定义：曲线等价类 $[\gamma]$，表示“从 $p$ 出发的某种方向”；
- 代数定义：作用在 $C^\infty(M)$ 上的满足 Leibniz 规则的导数 $v$
（1）几何定义
设 $M$ 是一个 $n$ 维光滑流形，$p \in M$ 是其中一点。
我们定义 $p$ 处的一个切向量为以下等价类中的一个元素：
令 $\mathscr{C}p$ 表示所有在 $p$ 处通过的光滑曲线，即满足：$$\mathscr{C}_p := \left{ \gamma: (-\varepsilon, \varepsilon) \to M \,\middle|\, \gamma \text{ 是 } C^\infty \text{ 曲线，且 } \gamma(0) = p \right}$$定义如下等价关系 $\sim$：对任意 $\gamma_1, \gamma_2 \in \mathscr{C}_p$，若对 $M$ 的任意光滑坐标系 $(U, \varphi)$ 满足 $p \in U$，有： $$\left. \frac{d}{dt} (\phi \circ \gamma_1)(t) \right|{t=0}=\left. \frac{d}{dt} (\phi \circ \gamma_2)(t) \right|_{t=0},$$ 则称 $\gamma_1 \sim \gamma_2$，它们属于同一个等价类。
$p$ 处的切向量是某一等价类 $[\gamma]$，记作：
$$v = [\gamma] \in T_pM$$
（2）代数定义
我们可以将“切向量”看作是一种在某点处的微分算子，它以局部方式作用在光滑函数上
$p$ 点处的一个切向量是一个线性映射：
$$v: C^\infty(M) \to \mathbb{R}$$
满足以下Leibniz 规则（乘积法则）：
$$v(fg) = v(f)\cdot g(p) + f(p)\cdot v(g), \quad \forall f,g \in C^\infty(M)$$
即：
- $v$ 是定义在所有光滑函数上的线性算子；
- 它测量的是函数在点 $p$ 沿某方向的导数；
– 并且满足导数的乘积法则。
切向量：集合定义和代数定义的等价性说明
几何定义中曲线等价类 $[\gamma]$ 可诱导一个导数算子：
$$v_{[\gamma]}(f) := \left. \frac{d}{dt}(f \circ \gamma)(t) \right|_{t=0}$$
这个 $v_{[\gamma]}$ 满足上述乘积法则，因而是一个切向量。
反之，任意满足乘积法则的线性映射 $v$，都可以构造出一条诱导该导数的曲线 $\gamma$。
因此，几何定义与代数定义是自然等价的，下面我们还将说明，两者定义出同一个向量空间 $T_pM$。
局部坐标诱导的切向量（基）${\frac{\partial}{\partial x^a}}$
设 $M$ 是 $n$ 维光滑流形，$p \in M$。
令 $(U, \phi)$ 是 $p$ 的一张坐标图，其中：
$$\phi: U \to \mathbb{R}^n, \quad \phi(q) = (x^1(q), \dots, x^n(q))$$
在这个局部坐标图下，我们可以定义 $p$ 处的 $n$ 个特殊的切向量：
$$\left. \frac{\partial}{\partial x^i} \right|p, \quad i = 1, \dots, n$$ 其作用定义如下：$$\left. \frac{\partial}{\partial x^i} \right|_p (f) := \left. \frac{\partial (f \circ \phi^{-1})}{\partial x^i} \right|{\phi(p)}, \quad \forall f \in C^\infty(M)
$$这些算子是将函数 $f$ 先拉回 $\mathbb{R}^n$，再对坐标函数求偏导。
在此吗我们不加证明地指出：
这些向量满足：
- 每个 $\left. \frac{\partial}{\partial x^i} \right|_p$ 是代数定义下的切向量；
- 这 $n$ 个向量在线性代数意义下线性无关；
- 它们构成切空间 $T_pM$ 的一个基底。
因此，任意切向量 $v \in T_pM$ 可唯一写为线性组合：
$$v = v^i \left. \frac{\partial}{\partial x^i} \right|_p$$
其中 $v^i \in \mathbb{R}$ 是该切向量在坐标基下的坐标分量。
我们称 $\left{ \left. \frac{\partial}{\partial x^1} \right|_p, \dots, \left. \frac{\partial}{\partial x^n} \right|_p \right}$ 为 $T_pM$ 的自然坐标基。
II. 切空间 $T_pM$ ：切向量的集合
（1）几何定义
$$T_pM := \left{ [\gamma] \,\middle|\, \gamma: (-\varepsilon,\varepsilon) \to M,\ \gamma(0) = p \right} \big/ \sim$$
其中等价关系 $\sim$ 定义为：任取局部坐标图 $\phi: U \to \mathbb{R}^n$，若
$$\left. \frac{d}{dt}(\phi \circ \gamma_1)(t) \right|{t=0} = \left. \frac{d}{dt}(\phi \circ \gamma_2)(t) \right|{t=0}$$
则称 $\gamma_1 \sim \gamma_2$。
等价类 $[\gamma]$ 被称为一个切向量，全体等价类构成 $T_pM$。
（2）代数定义
$$T_pM := \left{ v: C^\infty(M) \to \mathbb{R} \,\middle|\, v \text{ 满足线性性与 Leibniz 规则} \right}$$
即：$v$ 是定义在光滑函数上的导数算子，满足：
- 线性性：$v(af + bg) = a v(f) + b v(g)$；
- Leibniz 规则：$v(fg) = f(p)\cdot v(g) + g(p)\cdot v(f)$。
我们称这样的 $v$ 是定义在 $p$ 处的切向量，全体这类算子也构成 $T_pM$。
切空间 $T_pM$ 是向量空间
切空间 $T_pM$ 上的加法与数乘定义如下：
- 加法：
对任意 $v, w \in T_pM$，定义其作用为$$(v + w)(f) := v(f) + w(f), \quad \forall f \in C^\infty(M)$$ - 数乘：
对任意 $a \in \mathbb{R}$，$v \in T_pM$，定义$$(a v)(f) := a \cdot v(f), \quad \forall f \in C^\infty(M)$$
这个定义满足向量空间的八条公理，因此 $T_pM$ 是实向量空间
III. $T_pM$ 上的自然基：由流形上的局部坐标图诱导
若 $(x^1, \dots, x^n)$ 是 $p$ 附近的局部坐标系，则
$$\left{ \left. \frac{\partial}{\partial x^1} \right|_p, \dots, \left. \frac{\partial}{\partial x^n} \right|_p \right}$$
构成 $T_pM$ 的一组自然基。
任意切向量 $v \in T_pM$ 可表示为：
$$v = v^i \left. \frac{\partial}{\partial x^i} \right|_p$$
IV. 切空间 $T_pM$ 的直观理解
- $T_pM$ 描述了在 $M$ 的点 $p$ 附近，“所有可能的运动方向”。
- 可以将 $T_pM$ 看作是“流形在点 $p$ 的一次线性近似”。
- 若 $M = \mathbb{R}^n$，则 $T_pM \cong \mathbb{R}^n$，但在一般流形中 $T_pM$ 只在 $p$ 处与 $M$ 相切，不能自然延拓到整体。
二、余切空间 $T_p^*M$
I. 余切空间 $T^*_pM$ 是切空间 $T_pM$ 的对偶空间
设 $M$ 是一个 $n$ 维光滑流形，$p \in M$ 是其中一点。
我们定义 $p$ 处的余切空间（cotangent space） 为：
$$T_p^M := \mathrm{Hom}(T_pM, \mathbb{R})$$ 即：$T_p^M$ 是所有从 $T_pM$ 到 $\mathbb{R}$ 的线性映射构成的集合。
换句话说，余切空间的元素是作用在切向量上的线性函数（线性泛函），通常称为余切向量（cotangent vector） 或 协变向量（covector）。
$T^*_pM := \text{Hom}(T_pM,\mathbb{R})$ 其中 $\text{Hom}(T_pM,\mathbb{R})$ 是切空间到实数域的“同态映射”的集合；由于切空间是向量空间，因此切空间到实数域的同态映射是“线性映射”；因此余切空间上的点（称为余切向量或协变向量）本质上是切向量的线性泛函
余切向量（协变向量）= 切向量的线性泛函
II. 余切空间 $T_p^*M$ 的向量空间结构，自然配对
$T^*_p M$ 构成一个实向量空间
- $T_p^*M$ 是一个实向量空间；
- 若 $T_pM$ 是 $n$ 维的，则 $T_p^*M$ 同样是 $n$ 维；
- $T_p^*M$ 是 $T_pM$ 的对偶空间，两个空间间可通过自然配对建立联系。
自然配对
余切向量 $\omega \in T_p^*M$ 和切向量 $v \in T_pM$ 的自然配对定义为：
$$\langle \omega, v \rangle := \omega(v) \in \mathbb{R}$$
这个配对满足双线性性（对两个分量都线性），是几何和分析中非常基本的构造。
III. $T^*_pM$ 上的自然基（自然对偶基，坐标 $1$-形式）：由局部坐标图诱导
给定局部坐标图，可以通过和该点的局部坐标基 ${\partial_a|_p}$ 的对偶关系诱导该点的余切空间 $T^*_pM$ 的一组基 ${\text{d}x^a|_p}$，称为自然对偶基
设 $\phi: U \subset M \to \mathbb{R}^n$ 是流形 $M$ 上的一个局部坐标图，诱导出局部坐标函数 $(x^1, \dots, x^n)$。则对于每一点 $p \in U$：
- 切空间 $T_pM$ 的自然基（局部坐标基）可以通过局部坐标图诱导（具体定义见上文），把切空间的这组基记作：$$\left{ \left. \frac{\partial}{\partial x^i} \right|p \right}{i=1}^n$$
- 我们希望通过 自然对偶 定义余切空间 $T_p^M$ 对应的一组基，记作：$$\left{ \left. \mathrm{d}x^i \right|p \right}{i=1}^n$$定义这组基的方式为要求它们满足对偶关系：$$\left\langle \mathrm{d}x^i, \frac{\partial}{\partial x^j} \right\rangle = \delta^i_j$$我们称余切空间 $T^_pM$ 上如此定义的一组基为一组 自然对偶基 或称为
余切空间的自然对偶基 $\text{d}x^a|_p$ 被称作 $T_pM$ 上的坐标 1-形式（coordinate 1-forms on $T_pM$）
问题：什么是向量空间（微分流形语境下特指切空间）上的（坐标）1-形式？下文介绍
三、（向量空间上的）$1$-形式，（流形上的）$1$-形式场
I. 向量空间上的 $1$- 形式
$V$ 上的 $1$-形式 $\omega: V\to \mathbb{R}, \omega\in \text{Hom}(V,\mathbb{R})=V^*$
设 $V$ 是一维或有限维实向量空间，$V^$ 是其对偶空间，即： $$V^ := \mathrm{Hom}(V, \mathbb{R})$$
那么 $V^*$ 中的元素称为 $V$ 上的$1$-形式，即：
$1$-形式是一个线性函数：$$\omega: V \to \mathbb{R}, \quad \omega \in V^*$$
也可称为协变向量（covector）或线性泛函。
对偶空间的自然基 ${e^b}$ 是 $1$-形式，任何 $1$-形式都可以写成这组基的线性组合
- 在 $V = \mathbb{R}^n$ 上，任意 $1$-形式 $\omega \in V^*$ 都可以唯一表示为：$$\omega = a_1\, \mathrm{d}x^1 + \cdots + a_n\, \mathrm{d}x^n$$其中 ${ \mathrm{d}x^i }$ 是对偶基，$a_i \in \mathbb{R}$。
- 对任意 $v = (v^1, \dots, v^n) \in \mathbb{R}^n$，该 $1$-形式的作用为：
$$\omega(v) = a_1 v^1 + \cdots + a_n v^n$$
II. 切空间上的 $1$- 形式
$T_pM$ 上的 $1$-形式：定义
设 $M$ 是一个光滑流形，$p \in M$ 是其中一点，$T_pM$ 是该点的切空间。
$T_pM$ 上的 $1$-形式定义为：$$T_p^*M := \mathrm{Hom}(T_pM, \mathbb{R})$$中的元素，即所有从 $T_pM$ 到 $\mathbb{R}$ 的线性映射的集合。
换言之，$T_p^*M$ 是 $T_pM$ 的对偶空间，它的元素称为：
- $p$ 点处的 $1$-形式；
- 或 协变向量（covector）；
- 或 线性泛函。
坐标 $1$-形式：$\text{d}x^a$
设 $\phi: U \subset M \to \mathbb{R}^n$ 是 $p$ 附近的一个局部坐标图，$\phi(p) = (x^1, \dots, x^n)$。
由 $\phi$ 诱导出切空间的基：
$$\left{ \left. \frac{\partial}{\partial x^1} \right|_p, \dots, \left. \frac{\partial}{\partial x^n} \right|_p \right}
\quad \text{（记作 } \left{ \partial_i|_p \right} \text{）}
$$
可以证明 $T_p^*M$ 上自然有一组对偶基，记作：
$$\left{ \mathrm{d}x^1|_p, \dots, \mathrm{d}x^n|_p \right}$$
使满足对偶性：
$$\mathrm{d}x^i|_p\left( \left. \frac{\partial}{\partial x^j} \right|_p \right) = \delta^i_j$$
III. 光滑流形上的 $1$- 形式场
$M$ 上的 $1$ – 形式场：定义
设 $M$ 是一个光滑流形。$1$-形式场是一个将每一点 $p \in M$ 赋予一个 $T_p^M$ 中 $1$-形式的光滑映射，即：$$\omega: p \mapsto \omega_p \in T_p^M,$$满足对任意光滑函数 $f \in C^\infty(M)$，$\omega(f)$ 是一个光滑函数。
这样的 $\omega$ 被称为 $M$ 上的一个 $1$-形式场 ，记作：
$$\omega \in \Omega^1(M)$$
其中 $\Omega^1(M)$ 表示 $M$ 上所有 $1$-形式场构成的集合，是一个 $\mathbb{R}$ 上的 $C^\infty(M)$-模。
$1$-形式场的坐标表示
设 $\phi: U \subset M \to \mathbb{R}^n$ 是局部坐标图，则在 $U$ 中有自然坐标函数 $x^1, \dots, x^n$。
对任意 $1$-形式场 $\omega$，它在坐标系下可以表示为：
$$\omega = \omega_i(x)\, \mathrm{d}x^i$$
其中：
- ${\mathrm{d}x^i}$ 是由坐标诱导的 $1$-形式基；
- 系数函数 $\omega_i \in C^\infty(U)$；
- $\omega_p = \omega_i(x(p))\, \mathrm{d}x^i|_p$ 是 $p$ 点处的 $1$-形式
四、外积（Wedge Product）
在构造 $k$-形式空间之前，我们必须引入一个核心代数操作 —— 外积。它是一个在对偶空间上定义的反对称张量积运算，是 $k$-形式结构的代数基础。
I. 外积 $\wedge$ 的引入动机
我们为何需要外积？
- 我们已经知道，流形上的 1-形式是“作用在切向量上的线性函数”。
- 如果我们想表达“作用于多个切向量的联合结果”，例如面积、体积或流量，就必须构造高阶形式。
- 但普通张量积不能区分这些几何量的“方向感” —— 也就是说，它们没有反对称性。
举例：在面积的几何表达中，$(v_1, v_2)$ 与 $(v_2, v_1)$ 所定义的有向面积相反，普通张量却无法体现这一点。
也就是说，我们希望构造一种函数：
$$\omega: V \times V \times \cdots \times V \to \mathbb{K}, \quad \text{线性于每个参数}$$
其中 $\omega$ 接受 $k$ 个向量作为输入，是一个 $k$ 重线性函数。
此外，我们还希望这个函数具有如下性质：
- 只要有两个输入相等，则结果为 0；
- 交换任意两个输入，会改变符号。
这就引出了“外积”的定义，它构造出满足这些反对称性的多线性函数。
II. 外积 $\wedge$ 的定义：是对偶空间上的反对称张量积运算，是用于构造 $k$-形式（反对称张量）的代数结构
定义：（1-形式的）外积
设 $f_1, \dots, f_k \in V^*$，定义它们的外积为如下函数：
$$f_1 \wedge \cdots \wedge f_k (v_1, \dots, v_k) := \sum_{\sigma \in S_k} \mathrm{sign}(\sigma) \cdot f_1(v_{\sigma(1)}) \cdots f_k(v_{\sigma(k)})$$
其中：
- $S_k$ 是 $k$ 个元素的置换群；
- $\mathrm{sign}(\sigma)$ 是置换的符号；
- 每一项都是将 $f_i$ 作用在不同顺序排列的 $v_j$ 上。
该定义下，$f_1 \wedge \cdots \wedge f_k$ 是一个满足：
- 多线性性（对每个 $v_i$ 变量线性）；
- 完全反对称性（交换任意两输入变号，输入中有两个相等则为零）。
（1）对偶基 ${e^b }\subset V^,{e^b}\subset \Lambda^1V^$ 的外积
- 考虑向量空间 $V$ 和其对偶空间 $V^$，对偶基 ${e^b}$ 显然是 $1$-形式，即 ${e^a}\subset \Lambda^1 V^$ ，因此可以定义两个对偶基的外积：
- 外积定义为：$$e^a \wedge e^b = e^a \otimes e^b – e^b \otimes e^a$$ 因此，它们组合成一个 二阶反对称张量，稍后我们将说明这是一个 2-形式。
（2）外积取值于 $\Lambda^kV^$ ，即 $V^$ 上的 $k$ 重反对称张量空间
我们称 $\Lambda^k V^*$ 为：
$V^*$ 上的 $k$-重反对称张量空间，或简称 $k$-形式空间。
其元素称为 $k$-形式（on $V$），是 $V$ 上的 $k$-重线性反对称函数，稍后我们将详细介绍这类张量
五、对偶空间的张量积，向量空间上的 $k$ – 形式，外积概念的延拓
I. 对偶空间的张量积
$(V^)^{\otimes k}$ ：对偶空间 $V^$ 的 $k$ 次张量积空间
设 $V$ 是一维数为 $n$ 的实向量空间，$V^*$ 是其对偶空间。
我们考虑 $V^$ 的 $k$ 次张量积空间： $$(V^)^{\otimes k} := \underbrace{V^* \otimes \cdots \otimes V^*}{k \text{ 次}} $$ 它由所有 $k$-线性映射：$$\omega: \underbrace{V \times \cdots \times V}{k} \to \mathbb{R}$$组成，要求这些映射使得每个输入方向都线性。这里的元素称为 协变 $k$ 阶张量（covariant $k$-tensor）
注意： 此空间中的元素没有对称性或反对称性要求。
后续我们将专注其反对称子空间，即所谓的 $k$-形式。
$\omega \in (V^*)^{\otimes k}$ ： $k$ 阶协变张量
II. 向量空间上的 $k$ – 形式
向量空间上的 $k$ -形式：定义
一个 $k$-线性映射 $\omega: V^k \to \mathbb{R}$ 是一个 $k$-形式，当且仅当：
$$\omega(v_{\sigma(1)}, \dots, v_{\sigma(k)}) = \operatorname{sgn}(\sigma)\cdot \omega(v_1, \dots, v_k)
\quad \forall\, \sigma \in S_k$$
即：对任意置换，符号改变导致符号翻转。
特别地：
- 如果交换任意两个输入向量，则符号翻转；
- 如果两个输入向量相等，则 $\omega = 0$；
- 因此是“斜对称张量”。
定义重述：一个 $k$-形式就是一个定义在向量空间 $V$ 上的 $k$ 阶完全反对称协变张量
$k$-形式构成的集合： $\Lambda^{k} V^* \subset (V^*)^{\otimes k}$ 称为向量空间 $V$ 上的 “$k$-形式空间”
我们定义 $(V^)^{\otimes k}$ 的一个子空间，包含所有完全反对称的 $k$-线性映射，称为 $V$ 上的 $k$-形式空间，记作： $$\Lambda^k V^ \subset (V^*)^{\otimes k}$$
$k$ – 形式的表达方式与基底
若 $V$ 是 $n$ 维向量空间，${e^i}_{i=1}^n$ 是 $V^$ 的一组基，则：$$\left{ e^{i_1} \wedge \cdots \wedge e^{i_k} \,\middle|\, 1 \leq i_1 < \cdots < i_k \leq n \right}$$构成 $\Lambda^k V^$ 的一组基，其中 $\wedge$ 为外积
III. 外积概念的拓展：从 $1$-形式到一般 $k$-形式
我们在前一章中定义了外积 $\wedge$ 为 $1$-形式之间的一种二元乘法，其结果是高阶形式，如：
$$\alpha \wedge \beta \in \Lambda^2 V^, \quad \text{其中 } \alpha, \beta \in \Lambda^1 V^$$
该定义可以自然拓展为：
$$\wedge : \Lambda^p V^* \times \Lambda^q V^* \to \Lambda^{p+q} V^*$$
满足以下基本性质：
- 双线性性：$$(\omega_1 + \omega_2) \wedge \eta = \omega_1 \wedge \eta + \omega_2 \wedge \eta, \quad \forall \omega_1, \omega_2 \in \Lambda^p V^*$$以及类似地对第二个因子成立。
- 反对称性： $$\eta \wedge \omega = (-1)^{pq}\, \omega \wedge \eta, \quad \forall\, \omega \in \Lambda^p V^,\, \eta \in \Lambda^q V^$$这体现了形式的“全反对称性”。
- 结合律（非交换）：$$(\omega \wedge \eta) \wedge \theta = \omega \wedge (\eta \wedge \theta)$$外积不是交换的，但结合律成立。
任意 $k$ 形式都可以（唯一）写作 1-形式基的外积的线性组合
上述性质确保了外积提供了一个自然的乘法结构，使得 $\bigoplus_{k=0}^n \Lambda^k V^$ 成为一个反交换代数（graded anti-commutative algebra），这在微分形式和外微分等结构中将起核心作用。 特别地，任何 $k$-形式 $\omega \in \Lambda^k V^$ 都可以唯一写成如下形式的线性组合：$$\omega = \sum_{i_1 < \cdots < i_k} \omega_{i_1 \cdots i_k} \cdot e^{i_1} \wedge \cdots \wedge e^{i_k}$$其中 ${e^i}$ 是对偶基，$\omega_{i_1 \cdots i_k} \in \mathbb{R}$ 是系数。
六、余切空间的张量积，流形上的 $k$-形式（场）
I. 余切空间的张量积空间：$k$ 阶协变张量构成的空间
$(T^_pM)^{\otimes k}$ ：余切空间 $T^_pM$ 的 $k$ 次张量积空间
设 $M$ 是一 $n$ 维光滑流形，$p \in M$ 为一点。记 $T_p^M$ 为 $p$ 点处的余切空间。 对任意正整数 $k$，我们定义 $T_p^M$ 的 $k$ 次张量积空间为：
$$\left(T_p^M\right)^{\otimes k} := \underbrace{T_p^M \otimes \cdots \otimes T_p^M}_{k \text{ 次}}$$ 这是 $T_p^M$ 与自身的 $k$ 次张量积空间
其元素称为 $p$ 点处的 协变 $k$ 阶张量（covariant tensors of rank $k$），它们是如下类型的多重线性映射：
$$T_pM \times \cdots \times T_pM \to \mathbb{R}, \quad \text{（共 $k$ 个 $T_pM$）}$$
即它们将 $k$ 个切向量输入，输出一个实数，且关于每个变量线性。
$\omega \in {(T^*_pM)^{\otimes k}}$ ：$k$ 阶协变张量
$T_p^*M$ 中的元素是线性函数（作用在 $T_pM$ 上），而其 $k$ 次张量积空间中元素是：
一个 $k$ 线性函数：$$\omega: \underbrace{T_pM \times \cdots \times T_pM}_{k \text{ 个}} \to \mathbb{R}$$它是关于每个变量线性的，但没有对称性或反对称性要求。
这类张量可以用来构造更一般的张量场、差分形式、对称张量等。
II. 切空间上的 $k$-形式：完全反对称的 $k$ 阶协变张量
张量积空间 $T_p^*M^{\otimes k}$ 中的元素是任意的协变张量，而 $k$-形式是其中的一个子集：
- 所有完全反对称的协变张量构成外幂空间（Exterior power）：$$\Lambda^k T_p^M \subset T_p^M^{\otimes k}$$
- 即：$k$-形式是满足交错性条件的 $k$ 阶协变张量。
III. 流形上的 $k$-形式场
在上一节中，我们定义了在某一点 $p \in M$ 上的 $k$-形式为切空间 $T_pM$ 上的完全反对称 $k$-线性映射。现在我们将这一概念扩展为在整个流形 $M$ 上变化光滑的几何对象。
定义：
一个 $k$-形式场（$k$-form field）是一个将流形上的每一点 $p \in M$ 映射到一个 $k$-形式 $\omega_p$ 的规则：$$\omega: p \mapsto \omega_p \in \Lambda^k T_p^*M$$并且要求这个映射在流形意义下光滑变化。
其中记号 $\Lambda^k (T^_pM)$ 表示余切空间 $T^_pM$ 的第 $k$ 外幂，也就是定义在流形上点 $p\in M$ 的切空间上的 $k$ 形式的集合
（1）$k$-形式场就是在流形的每一点选择一个 $k$ 形式，并要求这种选择随流形上点的变化是光滑变化的
$k$-形式场 $\omega \in \Omega^k(M)$ 可以直观地理解为：
在流形 $M$ 的每一个点 $p \in M$，我们选择一个定义在切空间 $T_pM$ 上的 $k$-形式 $$\omega_p \in \Lambda^k(T_p^*M)$$并要求这种选择在 $p$ 随流形变化时是 光滑的。
也就是说，$k$-形式场是将每个点处的 $k$-形式“拼接”在一起，形成一个全局的、光滑变化的几何对象。
（2）所有光滑 $k$ 形式场构成的空间 $\Omega^k{M}$ 是对偶丛 $\Lambda^k T^*M \to M$ 上的光滑截面构成的空间
所有这样的光滑 $k$-形式场构成一个空间，记作：
$$\Omega^k(M) := \Gamma(M, \Lambda^k T^M)$$ 它是对偶丛 $\Lambda^k T^M \to M$ 的光滑截面空间。
局部表达：坐标系下的 $k$-形式场
若在 $M$ 的某张坐标图 $(U, \phi)$ 下，局部坐标为 $(x^1, \dots, x^n)$，则余切空间的自然基为 ${\mathrm{d}x^i}$。
则一个 $k$-形式场 $\omega$ 在该图中的局部表达为：
$$\omega = \sum_{1 \le i_1 < \cdots < i_k \le n} \omega_{i_1 \dots i_k}(x)\, \mathrm{d}x^{i_1} \wedge \cdots \wedge \mathrm{d}x^{i_k}$$
其中：
- 每个系数函数 $\omega_{i_1 \dots i_k}(x)$ 是光滑函数；
– $\mathrm{d}x^{i_1} \wedge \cdots \wedge \mathrm{d}x^{i_k}$ 是坐标1-形式的外积。
特例与记号
- $k = 0$ 时，$0$-形式场就是一个光滑函数；
- $k = 1$ 时，$1$-形式场是 $T^*M$ 的截面；
- $k = n = \dim M$ 时，$n$-形式场可在 $M$ 上积分，构成积分理论基础。
*七、从切/余切空间到切/余切丛
将每一点的切空间（或余切空间）拼接在一起：
- 切丛： $TM := \bigsqcup_{p \in M} T_pM$
- 余切丛： $T^M := \bigsqcup_{p \in M} T_p^M$
它们是 $M$ 上的向量丛，分别是向量场、微分形式的基础空间
| 项目 | 切空间 $T_pM$ | 余切空间 $T_p^*M$ |
|---|---|---|
| 类型 | 向量空间 | 对偶空间 |
| 元素 | 切向量（速度、方向） | 线性函数（测量方向） |
| 坐标基 | $\frac{\partial}{\partial x^i}$ | $\mathrm{d}x^i$ |
| 全局拼接 | 切丛 $TM$ | 余切丛 $T^*M$ |
| 物理解释（例） | 粒子的速度、运动方向 | 力的作用方式，或动量的协变量 |