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一、丛映射

I. 丛映射：定义

设 $\pi_E: E \to B$、$\pi_{E’}: E’ \to B’$ 是两个光滑纤维丛。
若存在两个光滑映射：

$\Psi: E \to E’$（作用在总空间）

$\psi: B \to B’$（作用在底空间）

满足如下交换图：$$\begin{array}{ccc}
E & \xrightarrow{\Psi} & E’ \
\pi_E \downarrow & & \downarrow \pi_{E’} \
B & \xrightarrow{\psi} & B’
\end{array}
\quad \text{即满足} \quad \pi_{E’} \circ \Psi = \psi \circ \pi_E$$则称 $\Psi$ 是从 $E \to B$ 到 $E’ \to B’$ 的一个 丛映射，记作：$$(\Psi, \psi): E \to E’
\quad \text{or simply } \Psi: E \to E’ \text{ over } \psi$$

核心要求：$\pi_{e’} \circ \Psi = \psi \circ \pi_E$ （丛映射后的投影等于投影后的底映射）

记号：$\psi:B\to B’$ 是底空间的映射，$\Psi:E\to E’$ 是总空间的映射，习惯上称 $\Psi$ 为 “$\psi$ 上方的丛映射”

丛映射 $\Psi$ 把每个纤维中的点 $e\in E_b$ 送到对应底点 $b$ 映射后所在的纤维 $E’_{\psi(b)}$ 中。它确保总空间的变化与底空间的映射兼容，像是纤维在“随底滑动”

II. 丛映射：性质

若 $\Psi: E \to E’$ 是一个 over $\psi$ 的丛映射，则：

（1）纤维之间相互映射：$\Psi (E_b) \subset E’_{\psi(b)}$

纤维之间相互映射：
对于任意 $b \in B$，我们有：$$\Psi(E_b) \subset E’{\psi(b)}$$即：每个点上纤维 $E_b = \pi_E^{-1}(b)$，会被 $\Psi$ 映射进 $E’{\psi(b)} = \pi_{E’}^{-1}(\psi(b))$。

（2）若 $\psi=\text{id}_b$，则定义在 $E$ 上的截面可以被推送到 $E’$ 上

截面可以“推送”：
若 $s: B \to E$ 是 $E$ 上的一个截面（即 $\pi_E \circ s = \mathrm{id}_B$），则：$$\Psi \circ s: B \to E’
\quad \text{是 over } \psi \text{ 的一个截面候选}$$但一般不是截面，除非 $\psi = \mathrm{id}_B$。

III. 向量丛映射：丛映射的特殊情况

若 $\psi$ 是微分同胚，且每纤维 $\Psi_b: E_b \to E’_{\psi(b)}$ 是线性映射，则 $\Psi$ 是向量丛映射。

这在向量丛或切丛之间很常见（例如 $\text{d}\Phi: TX \to TY$）。

（1）底空间间的映射 $\psi: B\to B’$ 是微分同胚（即双射且正反函数均光滑）

（2）$\Psi$ 对于限制在每条纤维时的情况 $\Psi_b :E_b\to E’_{\psi(b)}$ ，要求该映射是线性映射

向量丛映射（直观）：向量丛映射是一个“跟着底空间变化、纤维上又保持线性结构”的映射

二、切映射：定义

I. 前置：函数的拉回

函数的拉回（定义）：$\Phi^* f:=f\circ \Phi$

设：

$\Phi: X \to Y$ 是光滑流形之间的光滑映射；
$f \in C^\infty(Y)$ 是 $Y$ 上的光滑函数。

则函数 $f\in Y$ 关于 $\Phi:X\to Y$ 的拉回（pullback）定义为：
$$\boxed{
\Phi^* f := f \circ \Phi \in C^\infty(X)
}$$

也就是说：

把 $Y$ 上的函数 $f$ 通过 $\Phi$ 拉回到 $X$ 上；
得到的复合函数 $f \circ \Phi$ 仍然是 $X$ 上的光滑函数。

这是最基础的拉回操作，常称为：

$\phi^* : C^\infty(Y) \to C^\infty(X)$ 是函数环之间的代数同态。

函数的拉回（直观）：函数 $f:Y\to \mathbb{R}$ 关于 $\Phi: X\to Y$ 的拉回 $\Phi^* f$ 就是“绕着映射 $\Phi$ 先走再根据 $f$ 取值”

II. 切映射 $\text{d}\Phi$：构造动机

给定两个流形 $X$ 和 $Y$，以及一个光滑映射 $\Phi: X \to Y$，
如何理解 $\Phi$ 在微分结构上的作用？
换句话说，如何让 $\Phi$ （诱导一个新映射）把 $X$ 上的“方向信息”传递到 $Y$”？

（1）动机来源：方向导数的传递

对于定义在 $Y$ 上的任意光滑函数 $f:Y \to \mathbb{R}$，它在某点 $y$ 上的“方向信息”就是 $T_y Y$ 上的各种切向量作用在该函数上的效果的信息；
同时我们知道，流形间的映射 $\Phi$ ，对于每一个光滑映射 $f\in C^{\infty}(Y)$ 都自然地诱导了一个拉回映射 $\Phi^f= f\circ \Phi$： $$f \circ \Phi: X \to \mathbb{R}$$称为 $f$ 关于 $\Phi$ 的拉回映射，且 $\Phi^ f \in C^{\infty}(X)$；
同理可知该函数在某点 $x$ 上的所谓“方向信息”就是 $T_x X$ 上的各种切向量作用于该函数的效果

我们希望作的是，能否通过 $\Phi: X\to Y$ 诱导一个函数 $\text{d}\Phi: TX \to TY$，将任意 $v\in T_x X$ 被映射到这样一个向量（记作 $\text{d}\Phi|_x(v)$）：

它应该能作用在 $f$，并得到与 $v$ 作用在 $f \circ \Phi$ 一致的结果，即：$$\boxed{
(d\Phi|_x(v))[f] := v[f \circ \Phi]
}$$

这就定义了一个 $T_{\Phi(x)} Y$ 上的切向量

（2）换句话说：给出流形间（点间）的映射 $\Phi$，我们希望由它构造空间上“方向导数”（即切空间中的切向量）之间的映射，使满足切向量的映射 $\text{d}\Phi|_x (v)$ 作用于 $f\in C^{\infty}(Y)$ 等于切向量 $v\in T_xX$ 作用于函数的拉回 $\Phi^* f$

$\Phi$ 把 $x \in X$ 映到 $y = \Phi(x) \in Y$，
那么 $x$ 处的“方向” $v \in T_x X$ 应该被送到 $y$ 处的“方向” $(d\Phi|_x)(v) \in T_y Y$，
使得它“看”任何函数 $f: Y \to \mathbb{R}$ 的方式就是原来的 $v$ 看 $f \circ \Phi$ 的方式。

切映射：定义

回顾：构造切映射的核心

$$
\boxed{
(d\Phi|_x(v))[f] := v[f \circ \Phi] \quad \text{for all } f \in C^\infty(Y)
}
$$

这个定义自然满足：

$(d\Phi|x): T_x X \to T{\Phi(x)} Y$ 是线性映射；
拼在一起得到一个总映射 $d\Phi: TX \to TY$，称为 $\Phi$ 的切映射。

切映射：正式定义

设 $\Phi: X \to Y$ 是光滑映射，则其微分 $\text{d}\Phi: TX \to TY$ 是一个 丛映射，满足：
$$\boxed{
\begin{aligned}
&\text{(1) } \pi_Y \circ \text{d}\Phi = \Phi \circ \pi_X \quad \text{(丛映射条件)} \
&\text{(2) } \text{对每个 } x \in X,\quad \text{d}\Phi|x : T_xX \to T{\phi(x)}Y \text{ 是线性映射}
\end{aligned}
}$$
条件（2）更具操作性的等价表述：$$\boxed{(2) \text{ 对每个 $h\in C^\infty(Y), v\in T_xX$,}\quad v[h\circ \Phi]=(\text{d}\Phi|_x (v))[h]}$$

（1）切映射是切丛间的丛映射

##### （2）切映射是线性映射 = 切映射满足 $v[h\circ \Phi]=(\text{d}\Phi|_x(v))[h]$

三、切映射：局部坐标表示

后文中我们尽量采用如下符号体系：

若光滑映射 $\Phi: X \to Y$，则
- 将映射定义域 $X$ 上点的局部坐标记为 $x^i$
- 将映射像空间 $Y$ 上点的局部坐标记为 $x^a$
- 将光滑映射的坐标表示记为 $\Phi^a, \Phi(x^i)^a=y^a$
若 $\pi: Y \to X$ 是纤维丛，则
- 将底空间 $X$ 上的点的局部坐标记为 $x^i$
- 将全空间 $Y$ 上的点的局部坐标记为 $y^a = (x^i;y^{\mu})$，其中
  - 将点在纤维 $Y_x$ 上的局部坐标记为 $y^\mu$

I. 切映射的局部坐标表示：问题设定

设 $\Phi: X \to Y$ 是光滑流形之间的光滑映射；
$x \in X$，$\Phi(x) \in Y$；
${x^i}$ 是 $X$ 的局部坐标，维数为 $n$；
${y^a}$ 是 $Y$ 的局部坐标，维数为 $m$；
$v \in T_xX$，其坐标表达为 $v = v^i \left. \frac{\partial}{\partial x^i} \right|_x$

注意，这里我们直接将 底空间上的局部坐标图 写作分量形式 ${x^i}$ 其中 $x^i: X\to \mathbb{R}, i=1,2,…,n$；$Y$ 以此类推；这么做的好处是在具体计算中带来记号上的便利

我们要求切映射满足 定义性质：$$(d\Phi(v))[h] := v[h \circ \Phi], \quad \forall h \in C^\infty(Y)$$

我们想要明确求出 $\text{d}\Phi : TX \to TY$ 的明确坐标表示，等效于求它在每条纤维上的行为 $\text{d}\Phi|x: T_xX\to T{\Phi(x)}Y$ 的坐标表示，也就是求对于任意切向量 $v\in T_xX$ ：$$\text{d}\Phi(v) \in T_{\Phi(x)} Y \quad \text{在坐标基下的表示}.$$也就是求 $\text{d}\Phi|x$ 如何将 $v\in T_xX$ 映到 $w^a\left.\frac{\partial}{\partial y^a}\right|{\Phi(x)}$
因此，所谓求切映射的局部坐标表示，就是想将切映射写作：$$\text{d}\Phi|x(v) = (\text{d}\Phi|_x)^a(v)\left.\frac{\partial}{\partial y^a}\right|{\Phi(x)}$$

同时由于我们知道 切映射是线性映射 ，我们可以预想到：$$\text{d}\Phi|x(v) = (\text{d}\Phi|_x)^a{\, i} v^i\left.\frac{\partial}{\partial y^a}\right|_{\Phi(x)}$$
另外，在求切映射的局部坐标表示时，出于方便考虑，常将 $\text{d}\Phi|_x$ 直接写作 $\text{d}\Phi_x$ 甚至 $\text{d}\Phi$

II. 求解

为求上式中的 $\text{d}\Phi^a$ 或 $\text{d}\Phi^a_{\, i}$ ，只需在在定义性质 $v[f\circ \Phi]=\text{d}\Phi|_x(v)[f]$ 中代入 $f:=y^b$ 即可

RHS：$\text{d}\Phi ^a(v)$

LHS：$v^i \frac{\partial}{\partial x^i} [\Phi^a(x)]$

由于 $y^j$ 是 $Y$ 的局部坐标，$\Phi: X \to Y$，所以：
$$y^a \circ \Phi: X \to \mathbb{R}, \quad x \mapsto y^a(\Phi(x)) =: \Phi^a(x)$$
即，记$\Phi^a := y^a \circ \Phi$ 是 $\Phi$ 的第 $j$ 个分量函数。
这部分信息是由 $\Phi$ 和 $y^j$ 给出的，在当前语境下是已知信息

结论：$\text{d}\Phi ^a(v) = v^i \frac{\partial}{\partial x^i} [\Phi^a(x)]$

比较等式两边，我们得到：$$\boxed{\text{d}\Phi ^a(v) = v^i \frac{\partial}{\partial x^i} [\Phi^a(x)]}$$

III. 结论

结论：切映射的局部坐标表达为

$$\boxed{\text{d}\Phi ^a(v) = v^i \frac{\partial}{\partial x^i} [\Phi^a(x)]}$$

结论（另一种表述）

$$\boxed{\text{d}\Phi(v) = \left( v^i \frac{\partial \Phi^a}{\partial x^i} \right) \frac{\partial}{\partial y^a}}$$

如果将 $v^i$ 视作一个（ $n$ 行）列矩阵（考虑到在不存在前后关系的情况下，我们一般将上指标视为行标），那么 $\text{d}\Phi|x$ 的坐标表示可以视为一个 $m\times n$ 的矩阵，则上式可以视为一个矩阵乘法表达式：$$\text{d}\Phi(v) =(\partial_a)(\text{d}\Phi^a{\, i})(v^i)$$其中 $(\text{d}\Phi ^a {\,i})$ 是一个 $m\times n$ 矩阵，$(v^i)$ 是一个 $n\times 1$ 矩阵；因此 $(\text{d}\Phi^a{\, i})(v^i)$ 是一个 $m\times 1$ 矩阵；而 $\partial_a = (e_1 , e_2, …, e_m)$ （可以想像为）是 $T_{\Phi(x)}Y$ 上的基向量排成的 $1\times m$ 矩阵；因此整个矩阵积得到的确实是 $T_{\Phi(x)}Y$ 上的切向量。

直观表述：两个光滑流形间的映射对应的切映射 $\mathrm{d}\Phi: TX \to TY$ ，在局部坐标下的表达就是流形映射 $\Phi$ （对应的坐标映射）的雅可比矩阵（Jacobian matrix）

更准确地说：

在局部坐标图中：
- 若 $x^i$ 是 $X$ 上的坐标；
- $y^a$ 是 $Y$ 上的坐标；
- 且 $\Phi$ 的局部表达为：$$y^a = \Phi^a(x^1, \dots, x^n)$$
那么 $\mathrm{d}\Phi|x: T_x X \to T{\Phi(x)} Y$ 是一个线性映射，其在基底 $\left{ \frac{\partial}{\partial x^i} \right}$ 与 $\left{ \frac{\partial}{\partial y^a} \right}$ 下的矩阵表示就是：$$J^j{}_i(x) := \frac{\partial \Phi^a}{\partial x^i}$$也就是说：

$$\boxed{
\mathrm{d}\Phi|_x(v) = \left( \frac{\partial \Phi^a}{\partial x^i}(x) \cdot v^i \right) \frac{\partial}{\partial y^a}
}$$

记号体系延伸：坐标变换与雅各比矩阵

这也是为什么物理中也常常将坐标变换 $\Phi$ 诱导的雅各比矩阵 $J$ 记作 $\text{d}\Phi$：$$J^{i}{\, j}=(\text{d}\Phi)^i{\,j}:=\frac{\partial \Phi^i}{\partial x^j}$$其中 $\Phi^i: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ 是坐标变换的分量表示

IV. 另一种求解思路

（1）由于 $\text{d}\Phi|x:T_xX\to T{\Phi(x)}Y$ 是线性映射，要求其对任意切向量作用的坐标表示，只需确定它对该点的切向量基的作用效果，即 $\text{d}\Phi_x(\frac{\partial}{\partial x^i})$

（2）类似上一种方法的过程，只需在切映射的定义性质 $\text{d}\Phi(v)[h]=v[h\circ \Phi]$ 中代入 $h=y^a$ 即可

（3）LHS = $\text{d}\Phi_x(\partial_i)[y^a]$，RHS = $\partial_i [\Phi^a]$

（4）我们的目标是求 $\text{d}\Phi_x(\partial_i) = (\text{d}\Phi_x)^b_{\,i}\partial_b$

（5）将目标式两端都作用于 $y^a$，得到 $\text{LHS}{\text{traget}}=\text{LHS}$，$\text{RHS}{\text{target}}= (\text{d}\Phi_x)^a_{\,i}$

（6）由于目标式左边等于原式左边，可知目标式右边等于原式右边，因此有 $(\text{d}\Phi_x)^a_{\,i} = \partial_i [\Phi^a]$

（7）回代回目标式得到 $\text{d}\Phi_x(\partial_i) = \partial_i [\Phi^a] \partial_a$

结论

$$\boxed{\text{d}\Phi_x(\partial_i) = \partial_i [\Phi^a] \partial_a}$$将 $X$ 上的任意切向量 $v=v^i \partial_i$ 代入可恢复第一种方法得到的结论 $$\boxed{\text{d}\Phi(v)=v^i\frac{\partial \Phi^a}{\partial x^i}\cdot \frac{\partial }{\partial y^a}}$$

V. 切映射的坐标表示：示例

设 $\Phi: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$，定义为极坐标变换：

$$
\Phi(r,\theta) = (x, y) = (r \cos \theta, r \sin \theta)
$$

则：

输入切向量 $v = a \frac{\partial}{\partial r} + b \frac{\partial}{\partial \theta} \in T_{(r,\theta)} \mathbb{R}^2$
输出为： $$
d\Phi(v) = \left( a \cos\theta – b r \sin\theta \right) \frac{\partial}{\partial x}
\left( a \sin\theta + b r \cos\theta \right) \frac{\partial}{\partial y}
\in T_{(x,y)}\mathbb{R}^2
$$

这就是坐标变换下的切向量变换。

四、截面 $\Phi:X\to Y$ 的切映射 $\text{d}\Phi: TX\to TY$

对于任意流形间的光滑映射 $\Phi : X\to Y$，尽管其诱导的 切映射 $\text{d}\Phi:TX \to TY$ 天然是丛映射；但在切映射的定义中，并没有要求光环流形 $X,Y$ 是一个纤维丛的底空间和总空间，$\Phi$ 未必是纤维丛的截面。
但是，在理论力学语境下，我们更关心这样一类切映射：诱导该切映射的光滑映射 $\Phi$ 是一个纤维丛 $\pi: Y\to X$ 上的截面 $\Phi: X\to Y$.

I. 截面切映射的定义和直观理解

给定一个光滑映射 $\Phi: X \to Y$，我们可以定义其 切映射 $\text{d}\Phi: T_xX \to T_yY$，它描述了在点 $x \in X$ 处的微小变化如何通过 $\Phi$ 影响点 $y = \Phi(x) \in Y$。

切映射 $\text{d}\Phi$ 是一个从 $T_xX$ 到 $T_yY$ 的线性映射，它将底空间 $X$ 上的切向量映射到总空间 $Y$ 上的切向量。在几何上，$\text{d}\Phi$ 描述了底空间 $X$ 和总空间 $Y$ 中相应点的变化率。

II. 截面的切映射 $\text{d}\Phi|_x \in \mathrm{Hom}(T_xX, V_yY)$

$T_xX$ 是底空间 $X$ 上点 $x$ 的切空间。
$V_yY$ 是总空间 $Y$ 上点 $y$ 处的垂直子空间，即与投影映射 $\pi: Y \to X$ 垂直的切空间。

我们指出（稍后证明）：$\text{d}\Phi$ 是一个从底空间切空间 $T_xX$ 到总空间垂直空间 $V_yY$ 的线性映射。它满足线性映射的性质，并且通过映射 $T_xX$ 中的向量到 $V_yY$ 中的向量来实现。

（1）对任意切映射（不需要是截面的切映射），都有 $\text{d}\Phi|x: T_xX \to T{\Phi(x)}Y$

（2）截面切映射对坐标基向量的作用

引用切映射 $\text{d}\Phi|x$ 作用于 $X$ 的局部坐标基向量 ${\partial_i}$ 的效果 的结论，即：$$\boxed{\text{d}\Phi_x(\partial_i) = \partial_i [\Phi^a] \partial_a}$$在该式中，若 $\Phi:X\to Y$ 是一个截面，则等式右边$$\frac{\partial \Phi^a}{\partial x^i}\cdot \frac{\partial}{\partial y^a}=\frac{\partial \Phi^j}{\partial x^i}\cdot \frac{\partial}{\partial x^j}+\frac{\partial \Phi^{\mu}}{\partial x^i}\cdot \frac{\partial}{\partial y^\mu}=\partial_i +\frac{\partial\Phi^\mu}{\partial x^i}\cdot \partial\mu$$它的含义是：

第一项 $\partial_i$：表示在 $Y$ 中沿着 $x^i$ 的方向前进；
第二项 $\frac{\partial \Phi^\mu}{\partial x^i} \cdot \partial_\mu$：表示前进时会附带地沿着纤维方向“上浮”或“下沉”。

想象你在一个山坡上散步，$x^i$ 是地面的坐标，而 $y^\mu$ 是山坡的高度。

沿 $x^i$ 方向前进时，你的路径不仅在地面上移动（$\partial_i$），也可能随着山坡的斜率 $\frac{\partial \Phi^\mu}{\partial x^i}$ 而向上或向下（$\partial_\mu$）。
你并没有完全“离开”地面，而是“贴着地形”走，这种“贴地而动”的方式就是截面的几何本质。

一个截面的切映射并不单纯平行于底空间，而是沿底空间方向前进的同时，根据纤维方向的变化斜率向上或向下“偏移”

五、物理示例：二维质点

自由粒子在二维空间中运动，轨迹为：

$$\phi(t) = (t, x(t), y(t))$$

则：

微分映射为：$$d\phi(t): \partial_t \mapsto (1, \dot{x}(t), \dot{y}(t))
\in T_{\phi(t)} Y$$
拉格朗日函数定义在此点上：$$L(t, x, y; \dot{x}, \dot{y}) = \tfrac{1}{2} m (\dot{x}^2 + \dot{y}^2)$$

六、与 Jet 丛的联系

Jet 丛 $J^1Y$ 会将：

“位置 $q(t)$” 和 “速度 $\dot{q}(t)$” 一起打包进几何结构中，

而 $d\phi$ 是构造 Jet 延拓 $j^1\phi$ 的起点。

小结

项目	内容
定义	$d\Phi: TX \to TY$
坐标表示	$\text{d}\Phi(v)=v^i\frac{\partial \Phi^a}{\partial x^i}\cdot \frac{\partial }{\partial y^a}$
几何意义	描述轨迹的“速度向量”如何嵌入丛中
在力学中	是运动速度的编码；拉格朗日函数的输入之一
后续用途	构造 Jet 延拓、泛函导数、欧拉-拉格朗日方程等