设 $\pi: Y \to X$ 是一个光滑纤维丛，$\Phi: X \to Y$ 是一个 局部截面，即满足：
$$\pi \circ \Phi = \text{id}_X$$
我们可以定义该截面的一阶 Jet 延拓（Jet prolongation）：
$$\boxed{j^1\Phi: X \to J^1Y}$$
它将 $X$ 中的每个点 $x \in X$ 映射到该截面在 $x$ 点处的一阶 jet：
$$x \mapsto j^1_x\Phi$$

一、一阶 jet 延拓 $j^1\Phi$：定义

Jet 延拓 $j^1\Phi$ 是将截面 $\Phi$ 本身提升到 Jet 丛 $J^1Y$ 中的映射，定义为：
$$\boxed{j^1\Phi(x) := j^1_x\Phi}$$也就是说，$j^1\Phi$ 是一个从 $X$ 到 $J^1Y$ 的映射，满足：

• 对每个 $x \in X$，$j^1\Phi(x)$ 是 $\Phi$ 在 $x$ 的一阶 jet；
• $j^1\Phi$ 自然地满足投影条件：$$\pi_1 \circ j^1\Phi = \text{id}X,\quad \pi{1,0} \circ j^1\Phi = \Phi$$ 即：
• $j^1\Phi$ 是 $J^1Y \to X$ 的一个截面；
• 它“延拓”了原始截面 $\Phi$，并编码了其一阶导数信息。

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二、$j^1\Phi$：局部坐标表示

设：

• 底空间 $X$ 上的局部坐标为 $(x^i)$；
• 总空间 $Y$ 上的从属局部坐标为 $(x^i, y^\mu)$，其中：
• $x^i$ 描述底空间方向；
• $y^\mu$ 描述纤维方向（即每条 $\pi^{-1}(x)$ 上的局部坐标）；
• 截面 $\Phi: X \to Y$ 的局部表达为：$$ \Phi(x) = (x^i, \Phi^\mu(x))$$即，$\Phi^\mu(x)$ 是截面 $\Phi$ 在纤维方向的坐标表示。

则其一阶 Jet 延拓 $j^1\Phi: X \to J^1Y$ 的局部表达为：$$\boxed{
j^1\Phi(x) = \left(x^i, \Phi^\mu(x), \frac{\partial \Phi^\mu}{\partial x^i}(x) \right)
}$$即：$j^1\Phi$ 把每个点 $x \in X$ 映射到三组数据：

• 原始坐标 $x^i$；
• 值 $\Phi^\mu(x)$（即 $\Phi(x)$ 在纤维方向上的取值）；
• 导数 $\frac{\partial \Phi^\mu}{\partial x^i}(x)$（即 $\text{d}\Phi_x$ 在纤维方向上的雅可比分量）。
  这个三元组也可以写成 $$(x^i,\Phi^a(x),\frac{\partial \Phi^a}{\partial x^i})(x)$$因为该形式并不比上面的形式提供更多关于 $\Phi$ 的信息

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三、几何解释

Jet 延拓 $j^1\Phi$ 将原本“只有位置”的映射 $\Phi$ 拓展为“位置 + 一阶速度”的信息：

• 原映射 $\Phi$：$x \mapsto \Phi(x)$ 是点 $y \in Y$；
• 延拓映射 $j^1\Phi$：$x \mapsto j^1_x\Phi$ 是包含 $\Phi(x)$ 及其切映射 $\text{d}\Phi_x$ 的 jet 数据。
  因此，Jet 延拓是将截面映射提升至 Jet 丛中的“导数图像”。

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性质小结

• $j^1\Phi: X \to J^1Y$ 是 $J^1Y \to X$ 的一个光滑截面；
• 它将 $\Phi$ 的所有导数信息封装为点 $j^1_x(\Phi)$；
• 若 $J^1Y$ 被视为仿射丛，则 $j^1\Phi$ 给出了该仿射丛上的规范截面；
• Jet 延拓是后续变分法（如拉格朗日函数作用在 Jet 延拓上）等几何物理结构的基础操作。