一、引入背景
设 $\pi: Y \to X$ 是一个光滑纤维丛，我们将 $Y$ 看作带有纤维结构的“空间上空间”。
我们希望研究如下问题：
- 在 $Y$ 中哪些方向的运动“只在纤维内滑动”而不涉及底空间 $X$？
- 如何区分切丛 $TY$ 中“水平”（沿 $X$）和“垂直”（沿纤维）方向？
- Jet 丛 $J^1Y$ 中的导数结构，如何与这种方向性结构挂钩？
这就需要引入 垂直丛（vertical bundle）的概念。
二、垂直丛
垂直丛：定义
设 $\pi: Y \to X$ 是一个光滑映射，其诱导切映射 $\text{d}\pi: TY \to TX$
我们定义 垂直丛（vertical bundle）为：$$VY := \ker(\text{d}\pi) \subset TY$$
也就是说，对每个点 $y \in Y$，有：
$$V_yY := \ker(d\pi_y) \subset T_yY$$
于是我们得到 $VY = \bigcup_{y \in Y} V_yY$，它是切丛 $TY$ 的一个子丛，称为 $Y$ 沿 $\pi$ 的垂直丛。
I. 丛投影 $\pi$ 的切映射 $\text{d}\pi$
设 $\pi: Y \to X$ 是一个光滑纤维丛。我们希望理解：
丛投影在切丛之间诱导出怎样的结构？如何刻画“切向量是否在纤维内”？
丛投影的切映射 $\text{d}\pi$ ：定义
设 $\pi: Y \to X$ 是一个光滑映射（特别地，是纤维丛投影），则它诱导出切映射：
$$d\pi: TY \to TX$$
该映射满足：
- 对于每个 $y \in Y$，切映射在点 $y$ 处诱导线性映射：$\text{d}\pi_y: T_yY \to T_{\pi(y)}X$
- 它是底空间上 $\pi$ 的微分形式，刻画 $Y$ 中的运动趋势在 $X$ 中的投影。
- 所谓“$Y$中的运动趋势”指的就是 $TY$ 上的切向量
- $\text{d}\pi$ 刻画的就是 $TY$ 中的切向量如何 “兼容地” 映射到 $TX$ 上
- 这种所谓的“兼容”首先保证纤维 $TyY$ 上的切向量被映射到（关于丛投影 $\pi$ ）对应的的纤维 $T_{\pi(y)}X$ 上
- 上面提到的 “$\text{d}\pi$ 是线性映射” 最终也体现为它和 $\pi$ 兼容：$$\text{d}\pi_y(v)[h] = v[h\circ \pi]$$其中 $v \in T_y Y, \quad h\in C^{\infty}(X)$
（1）丛投影的切映射：直观理解
给定切向量 $v \in T_yY$，我们可以将其理解为 $Y$ 中一点 $y$ 的某个方向的“运动趋势”。
则：
$d\pi_y(v) \in T_{\pi(y)}X$ 是该运动在底空间 $X$ 上的“投影方向”。
（2）丛投影的切映射：局部坐标表示
首先回顾任意光滑映射 $\Phi: X\to Y$ 的切映射的坐标表示（操作性质）
$$\boxed{\text{d}\Phi(v) = \left( v^i \frac{\partial \Phi^a}{\partial x^i} \right) \frac{\partial}{\partial y^a}}$$
我们只需要将 丛投影的切映射 情形代入上式
首先我们有必要重新澄清我们的 符号体系，特别是关于局部坐标的指标的部分
设局部坐标为：
- $x^i$ 为 $X$ 上坐标；
- $y^a = (x^i, y^\mu)$ 为 $Y$ 上从属坐标
- 纤维丛上一点的坐标 $y^a$ 由两部分组成，其中 $x^i$ 是纤维丛上的该点投影在底空间上的点的局部坐标，$y^\mu$ 是该点在“这条纤维”上的坐标；
- 丛投影的坐标表示为 $\pi(x^i, y^a) = (x^i)$
切丛 $TY$ 上的一点上局部（坐标）基由 $Y$ 上的局部坐标诱导：
$$\left{ \frac{\partial}{\partial x^i}, \frac{\partial}{\partial y^\mu} \right}$$
将 $\text{d}\pi$ 代入 切向量作用于局部坐标基的结论$$\boxed{\text{d}\Phi_x(\partial_i) = \partial_i [\Phi^a] \partial_a,\quad\text{其中 $\partial_i$ 是定义域切空间基，$\partial_a$ 是像空间切空间的基}}$$即将 $\text{d}\Phi$ 取 $\text{d}\pi$，将 $\partial_i$ 替换为 $\frac{\partial}{\partial y^a}$ ，将 $\partial_a$ 替换为 $\frac{\partial}{\partial x^i}$；并且对 $\frac{\partial}{\partial y^a}$ 分类讨论，得到：
$$\text{d}\pi_y\left(\frac{\partial}{\partial x^i}\right) = \frac{\partial}{\partial x^i}, \quad
\text{d}\pi_y\left(\frac{\partial}{\partial y^\mu}\right) = 0$$
也就是说，丛投影 $\pi:Y\to X$ 的切映射 $\text{d}\pi$ 是这样一个映射，它将 $TY$ 上的切向量映到 $TX$ 上的切向量，并且：
- $d\pi$ 只“保留”方向在 $\frac{\partial}{\partial x^i}$ 方向上的分量
- 所有 $\frac{\partial}{\partial y^\mu}$ 方向都会被映射为 $0$
换言之：
设 $\pi: Y \to X$ 是一个纤维丛，令 $\mathrm{d}\pi: TY \to TX$ 为其切映射。
在坐标图 $(x^i, y^\mu)$ 下，$TY$ 的局部坐标为 $(x^i, y^mu; \dot{x}^i, \dot{y}^\mu)$。
此时，对于 $v = \dot{x}^i \frac{\partial}{\partial x^i} + \dot{y}^\mu \frac{\partial}{\partial y^\mu} \in T_{(x, y)}Y$，切映射作用于其的结果是：$$\text{d}\pi(v) = \dot{x}^i \frac{\partial}{\partial x^i}\in T_xX$$
II. 丛投影的切映射的核 $\text{ker}(\text{d}\pi)$ ：正好等于纤维丛上每条纤维的切空间的并空间：$\ker(\mathrm{d}\pi) = \bigcup_{y \in Y} T_y(Y_{\pi(y)})$
（1）切映射 $\mathrm{d}\pi$ 把 $Y$ 上的切向量映射到底空间 $X$ 的切空间中，提取其“底空间方向”分量。
（2）核中的向量是那些在 $TY$ 中被 $\mathrm{d}\pi$ 映射为零的向量。
（3）也就是说，这些向量在“底空间方向”（也就是基向量 $\frac{\partial}{\partial x^i}$的方向上）没有任何分量，仅在纤维方向（也就是基向量 $\frac{\partial}{\partial y^{\mu}}$）上变化。
（4）它们构成了沿着每条纤维方向“滑动”的切向量集合，即：$\ker(\mathrm{d}\pi) = \bigcup_{y \in Y} T_y(Y_{\pi(y)})$
$$\boxed{\ker(\mathrm{d}\pi) = \bigcup_{y \in Y} T_y(Y_{\pi(y)})}$$
直观理解：$\text{ker}(\text{d}\pi)$ 就等于纤维丛 $Y$ 上每条纤维 $Y_{\pi(y)}$ 的切空间 $T_yY_{\pi(y)}$ 的并定义的集合
III. $VY=\ker(\mathrm{d}\pi) = \bigcup_{y \in Y} T_y(Y_{\pi(y)})$ 构成切丛 $TY$ 的“子丛”
切丛 $TY$ 通过丛投影 $\pi$ 拆分为两部分：
$$TY = VY \oplus H$$
其中 $H$ 是某种水平分布（未必自然给出），但无论如何：
垂直丛 $VY$ 是 $TY$ 的结构性子丛，刻画“保持 $\pi(y)$ 不动”的所有运动方向。
小结
| 项目 | 内容 |
|---|---|
| 定义 | $VY := \ker(d\pi) \subset TY$ |
| 类型 | $VY \to Y$ 是向量丛 |
| 纤维 $V_yY$ | 表示在 $Y_{\pi(y)}$ 内的切向量 |
| 局部基底 | $\left{ \frac{\partial}{\partial y^a} \right}$ |
| 与 $TY$ 关系 | 是其自然子丛，$TY = VY \oplus H$（非唯一分解） |
| 用途 | 描述虚位移 $\delta y$，构造 Jet 仿射丛结构 |