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在研究变分、Jet 丛或复合结构（如复合截面）时，常常需要将一个丛“拉回”到另一个底空间上，从而在新的底空间上建立相关结构。本节将系统引入拉回丛（pullback bundle）的概念

一、拉回丛：构造动机

设有一个纤维丛：
$$p: E \to B$$
其中 $E$ 是总空间，$B$ 是底空间。现在我们关心的却不是 $B$ 本身，而是另一个流形 $X$ 与 $B$ 之间的映射关系：
$$\Phi: X \to B$$
这常常发生在以下几种情境：

情境一： $X$ 是时间流形或参数空间，我们希望研究某些 $E$ 上的结构（如张量、切向量、Lagrangian）在 $X$ 上的“投影”；
情境二： $X$ 是 $B$ 的子流形或某个“路径空间”，我们希望把 $E$ 中的几何数据转移到 $X$ 上；
情境三： 我们要研究的变分对象（如截面、路径等）定义在 $X$ 上，但其取值属于 $E$ 的某些纤维。
在这些情形中，我们需要将 $E$ 的结构“搬到”$X$ 上，从而在 $X$ 上讨论导数、拉回张量场、构造泛函等几何对象。

二、拉回丛：定义

定义背景

设：

$(E, B, \pi)$ 是一个光滑纤维丛，其中 $\pi: E \to B$ 是丛投影；
$\Phi: X \to B$ 是一个从流形 $X$ 到丛底空间 $B$ 的光滑映射。

我们希望通过 $\Phi$ 的“拉回”构造一个以 $X$ 为底空间的新纤维丛，称为 $E$ 关于 $\Phi$ 的拉回丛，记作：
$$\Phi^*E \xrightarrow{\;\;\pi’\;\;} X$$

拉回丛：集合结构

集合层面上，$\Phi^E$ 被定义为如下的集合： $$\Phi^E := \left{ (x, e) \in X \times E \mid \Phi(x) = \pi(e) \right}$$
即它是 $X \times E$ 中 $(x, e)$ 的集合，要求集合中的点满足满足 $e$ 正好“位于” $\Phi(x)$ 所对应的纤维上。

对应的投影映射定义为：$$\pi'(x, e) := x$$

（1）拉回丛不是平凡丛：$\Phi^* E$ 是 $X\times E$ 的子集，但是并不全局同胚于 $X\times E$

（2）拉回丛的每条纤维 $(\Phi^E)x$ 同构于原丛的对应纤维 $E{\Phi(x)}$：$\pi’^{-1}(x) = { (x,e) \mid e \in E_{\Phi(x)} } \cong E_{\Phi(x)}$，即 $(\Phi^E)x \cong E{\Phi(x)}$

拉回丛：纤维结构

对每个 $x \in X$，其上纤维为：
$$(\Phi^E)x = \left{ (x, e) \in \Phi^E \mid \Phi(x) = p(e) \right} \cong E{\Phi(x)}$$
也就是说，$\Phi^*E$ 上每个点的纤维与 $E$ 中对应点 $\Phi(x)$ 的纤维同构（自然标识为同一个集合）。

结论：拉回丛和原丛具有相同的“典型纤维”

拉回丛：光滑结构

定义回顾：$\pi:E\to B$ 是光滑纤维丛，$X$ 是光滑流形，$\Phi:X\to B$ 是两者定义的光滑结构下的光滑映射

拉回丛的光滑结构：构造思路

我们希望赋予 $\Phi^E$ 一个光滑流形结构，并使得 $\pi’: \Phi^E \to X$ 成为光滑丛投影。
思路是：利用原丛 $E \to B$ 的局部平凡化图，通过 $\Phi$ 传递到 $\Phi^*E$ 上，构造出局部平凡化结构。

设：

$(V, \psi)$ 是 $E \to B$ 的局部平凡化图：$$\psi: \pi^{-1}(V) \xrightarrow{\sim} V \times F,\quad \pi = \text{pr}_1 \circ \psi$$
取开集 $U \subset X$，满足 $\Phi(U) \subset V$；
构造映射：$$ \widetilde{\psi}: \pi’^{-1}(U) \to U \times F,\quad (x,e) \mapsto (x, f),\quad \text{其中 } \psi(e) = (\Phi(x), f)$$

验证局部平凡化条件

$\widetilde{\psi}$ 是双射（因为 $\psi$ 是局部双射，且 $\Phi(x)$ 被固定）；
其反函数为：$$ (x, f) \mapsto (x, \psi^{-1}(\Phi(x), f))$$
是光滑的（$\psi^{-1}$ 和 $\Phi$ 都是光滑映射）；
局部坐标变换来自原丛 $E$ 的过渡函数和 $\Phi$ 的复合，因而是光滑的。

因此，$\Phi^*E$ 被赋予了一个光滑结构，使得：

$\pi’: \Phi^*E \to X$ 是一个光滑丛投影；
每条纤维：$$\pi’^{-1}(x) = {x} \times E_{\Phi(x)} \cong E_{\Phi(x)}$$
典型纤维为 $F$，丛结构由原丛 $E$ 和映射 $\Phi$ 诱导而来。

三、切丛的拉回

设 $\Phi: X \to Y$ 是两个光滑流形之间的光滑映射，$TY \to Y$ 是 $Y$ 上的切丛。
我们构造 $\Phi$ 对应的切丛的拉回丛 $\Phi^*TY$，它是一个定义在 $X$ 上的光滑丛。

I. $\Phi^*TY$ ：定义

我们定义拉回丛的总空间为：
$$\Phi^*TY := \left{ (x, v) \in X \times TY \;\middle|\; \pi_Y(v) = \Phi(x) \right}$$

其中：

$\pi_Y: TY \to Y$ 是切丛的自然投影；
$\Phi^*TY$ 是 $X \times TY$ 的一个子集，称为 $TY$ 在 $\Phi$ 下的拉回丛；
拉回丛自身带有一个自然投影 $\pi’: \Phi^*TY \to X$，定义为：$$\pi'(x, v) := x$$

II. $\Phi^*TY$：纤维结构

对于任意 $x \in X$，拉回丛 $\Phi^TY$ 在点 $x$ 上的纤维为： $$\left(\Phi^TY\right)x = \left{ (x, v) \in \Phi^TY \mid \pi'(x, v) = x \right} \cong T{\Phi(x)}Y$$
因此，$\Phi^TY$ 的每根纤维等同于 $TY$ 中点 $\Phi(x)$ 处的切空间。

III. $\Phi^*TY$：局部坐标表示

若：

$X$ 上局部坐标为 $(x^i)$；
$Y$ 上局部坐标为 $(y^a)$；
$\Phi(x) = \left( \Phi^a(x) \right)$；
切丛 $TY$ 上的局部坐标为 $(y^a, v^a)$；

则拉回丛 $\Phi^*TY$ 的坐标为：
$$\left(x^i, v^a\right) \quad \text{其中 } v^a \in T_{\Phi(x)}Y$$

IV. $\Phi^*TY$：直观理解

$TY$ 的点是 $Y$ 上某点处的切向量；
$\Phi^*TY$ 的点是“沿着 $\Phi$ 拉回的切向量”，即：

对 $X$ 上的每一点 $x$，我们附上 $\Phi(x)$ 处的切向量。

这样，我们得到一个以 $X$ 为底空间的向量丛，其纤维结构由 $TY$ 决定。