在讨论作用量泛函的变分时，我们常说“对一个场 $\Phi$ 的变分 $\delta\Phi$ 是某种方向上的无穷小扰动”。现在我们希望以几何方式精确定义这一说法。
一、 垂直丛的拉回丛 $\Phi^* VY$
回顾：垂直丛 $VY$
设 $\pi: Y \to X$ 是一个光滑映射，其诱导切映射 $\text{d}\pi: TY \to TX$
我们定义 垂直丛（vertical bundle）为：$$VY := \ker(\text{d}\pi) \subset TY$$
也就是说，对每个点 $y \in Y$，有：
$$V_yY := \ker(d\pi_y) \subset T_yY$$
于是我们得到 $VY = \bigcup_{y \in Y} V_yY$，它是切丛 $TY$ 的一个子丛，称为 $Y$ 沿 $\pi$ 的垂直丛。
（1）丛投影的切映射 $\text{d}\pi$ 满足切映射的定义性质 $\text{d}\pi_y(v)[h]=v[h\circ \pi]\,,\, \forall v\in T_yY, h\in C^\infty(X)$
（2）$\text{d}\pi_y$ 作用在 $T_yY$ 上的切向量基上的效果
我们知道，对于任意光滑映射 $\Phi: X \to Y$，其诱导的切映射 $\text{d}\Phi$ 作用在 $T_xX$ 上的坐标基 $\partial/\partial x^i$ 的效果为：$$\text{d}\Phi_x (\frac{\partial}{\partial x^i})=\left.(\frac{\partial \Phi^a}{\partial x^i})\right|_x \frac{\partial}{\partial y^a}$$其中 $\Phi^a(x)$ 是 $\Phi$ 在 $x\in X$ 点（附近）的局部坐标表示
代入 $\pi: Y\to X$ 得：$$\text{d}\pi_y(\frac{\partial}{\partial y^a})=\left.(\frac{\partial\pi^i}{\partial y^a})\right|_y\frac{\partial}{\partial x^i}$$显然，对于 $a=j$ 的情况，也就是对于 $\frac{\partial}{\partial x^j}$，该式返回 $\frac{\partial}{\partial x^j}$；而对于 $a=\mu$ 的情况，也就是对于 $\frac{\partial}{\partial y^{\mu}}$，该式返回 $0$.
换言之：
丛投影的切映射是一个将 总空间的切向量 映射到 底空间切向量 的函数。我们可以这样描述它的行为：
- 在一个局部坐标系统中，我们可以将总空间上的切向量分解为两类：
- 那些沿着底空间坐标方向的分量；
- 那些沿着纤维方向（即在纤维方向变化的）分量。
- 丛投影的切映射作用在这些切向量上时，会：
- 把所有沿底空间方向的分量准确地映射到底空间中对应的方向上；
- 把所有仅在纤维方向上变化的分量映射为零，因为这些分量在底空间中没有对应的“方向”或“意义”。
（3）丛投影的切映射的核 $\text{ker}(\text{d}\pi)$ 作为垂直丛的总空间 $VY$
由上述 $\text{d}\pi_y$ 作用于 $T_yY$ 上切向量的作用效果，我们可以知道，$\text{ker}(\text{d}\pi)$ 就等于所有沿喜爱屋内方向的切向量的集合，也就是每条纤维的切空间的并 $\bigcup_{y \in Y} T_y(Y_{\pi(y)})$
$VY$ 包含这样的元素：它的任意元素都是 $TY$ 中的切向量，并且该切向量 沿底空间方向的分量为0
回顾：拉回丛
集合层面上，$\Phi^E$ 被定义为如下的集合： $$\Phi^E := \left{ (x, e) \in X \times E \mid \Phi(x) = \pi(e) \right}$$
即它是 $X \times E$ 中 $(x, e)$ 的集合，要求集合中的点满足满足 $e$ 正好“位于” $\Phi(x)$ 所对应的纤维上。
对应的投影映射定义为：$$\pi'(x, e) := x$$
（1）拉回丛不是平凡丛：$\Phi^* E$ 是 $X\times E$ 的子集，但是并不全局同胚于 $X\times E$
（2）拉回丛的每条纤维 $(\Phi^E)x$ 同构于原丛的对应纤维 $E{\Phi(x)}$：$\pi’^{-1}(x) = { (x,e) \mid e \in E_{\Phi(x)} } \cong E_{\Phi(x)}$，即 $(\Phi^E)x \cong E{\Phi(x)}$
垂直丛的拉回丛 $\Phi^* VY$：定义
设：
- $\pi: Y \to X$ 是一个光滑纤维丛；
- $VY$ 是 $Y$ 上的垂直丛，即垂直子空间 $V_yY = \ker(\text{d}\pi_y)$（其中 $y \in Y$）的并；
- $\Phi: X \to Y$ 是一个光滑映射。
我们可以通过 $\Phi$ 构造垂直丛的拉回丛，记作：$$\Phi^* VY := \left{ (x, v) \in X \times VY \mid \pi_Y(v) = \Phi(x) \right}$$即，$\Phi^* VY$ 是所有满足 $v \in V_{\Phi(x)}Y$ 的”点对” $(x, v)$ 的集合，其中 $v \in VY$ 是 $Y$ 中的垂直向量，$\Phi(x) = \pi_Y(v)$ ，拉回丛中的每条纤维同构于原丛中的对应纤维：$$\boxed{(\Phi^*VY)x\cong V{\Phi(x)}Y}$$
丛投影与局部结构
- 投影映射：定义投影映射 $\pi’ : \Phi^* VY \to X$ 为：$$\pi'(x, v) = x$$这个映射将拉回丛的元素 $(x, v)$ 投影到底空间 $X$ 上，显然这是一个光滑映射。
- 局部坐标：
直观理解：直观上，拉回垂直丛 $\Phi^*VY$ 是在 $X$ 上构造的纤维丛，其每个纤维 $x \in X$ 对应于 $Y$ 上 $\Phi(x)$ 处的垂直空间（即 $V_{\Phi(x)}Y$），因此每个拉回丛的元素是由底空间点 $x$ 和对应的垂直向量 $v \in V_{\Phi(x)}Y$ 组成。
- 拉回丛的光滑结构： $\Phi^*VY$ 是 $X$ 上的光滑纤维丛，因为它是从光滑丛 $VY$ 和光滑映射 $\Phi$ 诱导出来的。
- 纤维同构： 每个纤维 $\pi’^{-1}(x)$ 与原丛 $V_{\Phi(x)}Y$ 同构。换句话说，拉回丛中的每根纤维就是 $Y$ 中与 $\Phi(x)$ 对应的垂直空间的复制。
二、截面的变分 $\delta \Phi$
截面的变分 $\delta\Phi$ 是垂直拉回丛 $\Phi^VY$ 上的一个光滑截面 $\delta\Phi:X\to \Phi^VY$
我们考虑垂直丛 $VY \to Y$，其每条纤维为 $T_yY$ 中沿纤维方向（即在 $\ker(\text{d}\pi)$ 中）的子空间。拉回 $\Phi^*VY$ 之后，我们得到了一个以 $X$ 为底空间的向量丛。变分 $\delta\Phi$ 就可以被视为其上的一个截面。
| 符号 | 类型 | 含义 |
|---|---|---|
| $\Phi$ | 截面 | $\Phi \in \Gamma(X, Y)$，即 $\pi \circ \Phi = \text{id}_X$ |
| $\delta\Phi \in \Gamma(X, \Phi^*VY)$ | 截面 | 表示对 $\Phi$ 的无穷小扰动 |
| $VY$ | 向量丛 | $VY := \ker(\text{d}\pi) \subset TY$ |
| $\Phi^*VY \to X$ | 向量丛 | 将 $VY$ 拉回到 $X$ 上，变分的“取值空间” |
换言之：
*变分 $\delta\Phi$ 是 $\Phi$ 所诱导的拉回垂直丛 $\Phi^VY$ 的一个光滑截面。
变分 $\delta\Phi$ 是对截面 $\Phi$ 的无穷小扰动。为了在几何上描述这一扰动，我们需要将其视为拉回垂直丛 $\Phi^VY$ 上的一个光滑截面。严格来说，变分 $\delta\Phi$ 定义为： $$\delta\Phi \in \Gamma(X, \Phi^VY)$$
其中：
- $\Gamma(X, \Phi^VY)$ 表示从 $X$ 到拉回垂直丛 $\Phi^VY$ 的光滑截面空间；
- 每个点 $x \in X$ 上，变分 $\delta\Phi(x)$ 是 $Y$ 上点 $\Phi(x)$ 处的一个切向量，这个切向量**只能\落在纤维方向的切空间 $V_{\Phi(x)}Y$ 中。
拉回垂直丛 $\Phi^VY$ 由映射 $\Phi$ 和原丛 $VY$ 的纤维垂直部分构成，因此变分 $\delta\Phi$ 在每个点 $x$ 上所映射到的切向量必须是 $\Phi^VY$ 中的一个元素，确保扰动仅在总空间 $Y$ 上的纤维方向上进行。
直观解释
- 变分 $\delta\Phi(x)$ 是 $T_{\Phi(x)}Y$ 中的一个向量；
- 由于 $\Phi(x)$ 已经确定为某根纤维上的点，我们要求 $\delta\Phi(x)$ 落在该点纤维上的“切向量方向”，也就是 $V_{\Phi(x)}Y$；
- 这说明 $\delta\Phi(x) \in V_{\Phi(x)}Y$；
- 于是整体上 $\delta\Phi \in \Gamma(X, \Phi^*VY)$。