一、前置：一阶 Jet 丛 $J^1Y$ （回顾）
I. 局部截面构成的集合 $\mathcal{S}_x$ ，该集合上的一阶等价关系 $\sim^1_x$，该等价关系定义的等价类 $j^1_x(\Phi)$，该等价关系定义的商空间 $J^1_xY:=\mathcal{S}_x/\sim^1_x$
（1）给定光滑纤维丛 $\pi:Y \to X$ ，一个局部截面是一个与丛投影兼容的光滑映射 $\Phi: U\to Y$ ；记 $\mathcal{S}_x$ 为所有定义在 $x$ 的某一邻域上的光滑局部截面所构成的集合
（2）在该集合上一可以定义一种等价关系（常称为一阶 jet 等价）$\sim^1_x$，两个截面被称为“在 $x$ 附近具有相同的 $1$ 阶接触”，如果他们满足 “$\Phi(x)=\Psi(x)$” 且 “$\text{d}\Phi_x = \text{d}\Psi_x: T_xX \to T_{\Phi(x)}Y$”
需要特别指出的是，定义该等价关系的第二个条件中，在 判断两个截面的切映射是否相等 时，我们实际上 只需要判断两个截面的切映射在任意点作用于切向量基是否相等 即可：
引用 切映射 $\text{d}\Phi|x$ 作用于 $X$ 的局部坐标基向量 ${\partial_i}$ 的效果 的结论，即：$$\boxed{\text{d}\Phi_x(\partial_i) = \partial_i [\Phi^a] \partial_a}$$在该式中，若 $\Phi:X\to Y$ 是一个截面，则等式右边$$\frac{\partial \Phi^a}{\partial x^i}\cdot \frac{\partial}{\partial y^a}=\frac{\partial \Phi^j}{\partial x^i}\cdot \frac{\partial}{\partial x^j}+\frac{\partial \Phi^{\mu}}{\partial x^i}\cdot \frac{\partial}{\partial y^\mu}=\partial_i +\frac{\partial\Phi^\mu}{\partial x^i}\cdot \partial\mu$$它的含义是：
- 第一项 $\partial_i$：表示在 $Y$ 中沿着 $x^i$ 的方向前进；
- 第二项 $\frac{\partial \Phi^\mu}{\partial x^i} \cdot \partial_\mu$：表示前进时会附带地沿着纤维方向“上浮”或“下沉”。
我们发现对任意两个截面，作用在坐标基上时，第一项始终相等， 整整需要比较的是第二项，也就是截面的一阶导数沿纤维方向的分量
（3）该等价关系 $\sim ^1_x$ 定义的一个等价类称为一个一阶 jet，用等价类中的一个代表截面标记，记作 $j^1_xs$ 或 $j^1_x(s)$
（4）由一阶等价关系定义的商空间，也就是一阶 jet 构成的集合，记作 $J^1_xY ={j^1_x(s)}$ ，称为“一阶 jet 空间”
II. 一阶 Jet 丛 $J^1Y$ 就是一阶 Jet 空间 $J^1_xY$ 的不交并 $J^1Y := \bigsqcup_{x \in X} J^1_xY$
设 $\pi: Y \to X$ 是一个光滑纤维丛。
我们定义一阶 Jet 丛 $J^1Y$ 为：
$$
J^1Y := \bigsqcup_{x \in X} J^1_xY
$$
其中 $J^1_xY$ 是所有在点 $x$ 处局部截面的等价类（即一阶 jets）组成的集合。
这个集合带有两个自然投影：
- 到总空间的投影：$$\pi_{1,0}: J^1Y \to Y,\quad j^1_x s \mapsto s(x)$$它记录了 jet 的值。
- 到底空间的投影：$$\pi_1: J^1Y \to X,\quad j^1_x s \mapsto x$$它记录了 jet 的基点。
III. 一阶 Jet 丛 $J^1Y$ 作为仿射丛的丛结构
仿射丛投影：$\pi_{1,0}: J^1Y \to Y\,,\, j^1_x(s)\mapsto s(x)\in Y$
仿射丛纤维：$E_{y_0} := \pi_{1,0}^{-1}(y_0) = \left{ j^1_{\pi(y_0)}(s) \mid s(\pi_{1,0}(y_0)) = y_0 \right}$
在任意一根选定的纤维 $E_{y_0}$ 上，用于定义 jet 的基点 $x_0 =\pi(y_0)$ 和截面的值 $s(x)=y_0$ 都是选定的，纤维上的自由度只有用于定义 jet 的截面的一阶导数值 $\text{d}s_{x_0}$
仿射丛纤维构成仿射空间，即任意纤维都同构于一个向量空间（称为仿射空间的模型空间）$V := \mathrm{Hom}(T_{\pi(y_0)}X, V_{y_0}Y)$
选择映射 $f: E_{y_0} \to V,\quad j^1_x(s) \mapsto \text{d}s|_x^{\text{vert}}$ 作为仿射同构
IV. 一阶 Jet 丛 $J^1Y$ 的局部坐标
（1）$J^1Y$ 上的一个点就是一个一阶 jet $j^1_x(s)$
（2）$j^1_x(s)$ 在 $J^1Y$ 上可以表示为局部坐标 $(x^i,y^\mu,y^\mu_{\,i})$ 其中 $y^\mu = s^\mu(x)\,,\, y^\mu_{\, i} = (\text{d}s_x)^\mu_{\, i}$
二、前置：$k$ 形式，外积， 流形上的 $k$ 形式场
I. 对偶空间，$1$-形式
（1）对偶空间 $V^*$
设 $V$ 是一个向量空间，则对偶空间 $V^$ 是由 $V$ 上的所有线性泛函（即从 $V$ 到实数的线性映射）组成的空间。形式上， $$V^ = { f: V \to \mathbb{R} \mid f \text{ 是线性映射} }.$$
如果 $V$ 是 $n$ 维的，则 $V^*$ 也是 $n$ 维的。
（2）对偶空间的元素是向量空间上的 $1$-形式：$\omega: V\to \mathbb{R}, \omega\in \text{Hom}(V,\mathbb{R})=V^*$
设 $V$ 是一维或有限维实向量空间，$V^$ 是其对偶空间，即： $$V^ := \mathrm{Hom}(V, \mathbb{R})$$
那么 $V^*$ 中的元素称为 $V$ 上的$1$-形式，即：
$1$-形式是一个线性函数：$$\omega: V \to \mathbb{R}, \quad \omega \in V^*$$
也可称为协变向量（covector）或线性泛函。
（3）对偶空间的自然基 ${e^b}$ 是 $1$-形式，任何 $1$-形式都可以写成这组基的线性组合
- 在 $V = \mathbb{R}^n$ 上，任意 $1$-形式 $\omega \in V^*$ 都可以唯一表示为：$$\omega = a_1\, \mathrm{d}x^1 + \cdots + a_n\, \mathrm{d}x^n$$其中 ${ \mathrm{d}x^i }$ 是对偶基，$a_i \in \mathbb{R}$。
- 对任意 $v = (v^1, \dots, v^n) \in \mathbb{R}^n$，该 $1$-形式的作用为：
$$\omega(v) = a_1 v^1 + \cdots + a_n v^n$$
II. 对偶空间的张量积，向量空间上的 $k$ 形式，对偶空间的 $k$ 次外幂空间（向量空间的 $k$-形式空间 ）
$(V^)^{\otimes k}$ ：对偶空间 $V^$ 的 $k$ 次张量积空间
设 $V$ 是一维数为 $n$ 的实向量空间，$V^*$ 是其对偶空间。
我们考虑 $V^$ 的 $k$ 次张量积空间： $$(V^)^{\otimes k} := \underbrace{V^* \otimes \cdots \otimes V^*}{k \text{ 次}} $$ 它由所有 $k$-线性映射：$$\omega: \underbrace{V \times \cdots \times V}{k} \to \mathbb{R}$$组成，要求这些映射使得每个输入方向都线性。这里的元素称为 协变 $k$ 阶张量（covariant $k$-tensor）
$(V^)^{\otimes k}$ 是下文介绍的“向量空间上的 k-形式”生活的空间（实际上它们生活的空间是该空间的子空间$\Lambda^kV^$，称为对偶空间 $V^$ 上的*第 $k$ 外幂空间）
向量空间上的 $k$ -形式：定义
一个 $k$-线性映射 $\omega: V^k \to \mathbb{R}$ 是一个 $k$-形式，当且仅当：
$$\omega(v_{\sigma(1)}, \dots, v_{\sigma(k)}) = \operatorname{sgn}(\sigma)\cdot \omega(v_1, \dots, v_k)
\quad \forall\, \sigma \in S_k$$
即：对任意置换，符号改变导致符号翻转。
特别地：
- 如果交换任意两个输入向量，则符号翻转；
- 如果两个输入向量相等，则 $\omega = 0$；
- 因此是“斜对称张量”。
定义重述：一个 $k$-形式就是一个定义在向量空间 $V$ 上的 $k$ 阶完全反对称协变张量，$k$ -形式生活在“对偶空间 $V^*$ 上的第 $k$ 外幂空间，也称为 **$k$ 次外代数空间”，称为 $k$-形式空间
$k$-形式构成的集合： $\Lambda^{k} V^* \subset (V^*)^{\otimes k}$ 称为向量空间 $V$ 上的 “$k$-形式空间”
我们定义 $(V^)^{\otimes k}$ 的一个子空间，包含所有完全反对称的 $k$-线性映射，称为 $V$ 上的 $k$-形式空间，记作： $$\Lambda^k V^ \subset (V^*)^{\otimes k}$$
它是 $V$ 的对偶空间 $V^*$ 上的第 $k$ 外幂空间，也称为 $k$ 次外代数空间。
$\Lambda^k V^* \subset T^k V^*$
小结
- $k$-形式是对偶空间中一种特殊的多线性映射；
- 它们是 $V^*$ 上完全反对称的 $k$ 次张量；
- $\Lambda^k V^*$ 是从线性代数出发定义的，无需任何流形结构。
III. 外积（Wedge Product）
我们为何需要外积？
- 我们已经知道，流形上的 1-形式是“作用在切向量上的线性函数”。
- 如果我们想表达“作用于多个切向量的联合结果”，例如面积、体积或流量，就必须构造高阶形式。
- 但普通张量积不能区分这些几何量的“方向感” —— 也就是说，它们没有反对称性。
举例：在面积的几何表达中，$(v_1, v_2)$ 与 $(v_2, v_1)$ 所定义的有向面积相反，普通张量却无法体现这一点。
也就是说，我们希望构造一种函数：
$$\omega: V \times V \times \cdots \times V \to \mathbb{K}, \quad \text{线性于每个参数}$$
其中 $\omega$ 接受 $k$ 个向量作为输入，是一个 $k$ 重线性函数。
此外，我们还希望这个函数具有如下性质：
- 只要有两个输入相等，则结果为 0；
- 交换任意两个输入，会改变符号。
这就引出了“外积”的定义，它构造出满足这些反对称性的多线性函数。
定义：（1-形式的）外积
设 $f_1, \dots, f_k \in V^*$，定义它们的外积为如下函数：
$$f_1 \wedge \cdots \wedge f_k (v_1, \dots, v_k) := \sum_{\sigma \in S_k} \mathrm{sign}(\sigma) \cdot f_1(v_{\sigma(1)}) \cdots f_k(v_{\sigma(k)})$$
其中：
- $S_k$ 是 $k$ 个元素的置换群；
- $\mathrm{sign}(\sigma)$ 是置换的符号；
- 每一项都是将 $f_i$ 作用在不同顺序排列的 $v_j$ 上。
该定义下，$f_1 \wedge \cdots \wedge f_k$ 是一个满足：
- 多线性性（对每个 $v_i$ 变量线性）；
- 完全反对称性（交换任意两输入变号，输入中有两个相等则为零
（1）对偶基 ${e^b }\subset V^,{e^b}\subset \Lambda^1V^$ 的外积
- 考虑向量空间 $V$ 和其对偶空间 $V^$，对偶基 ${e^b}$ 显然是 $1$-形式，即 ${e^a}\subset \Lambda^1 V^$ ，因此可以定义两个对偶基的外积：
- 外积定义为：$$e^a \wedge e^b = e^a \otimes e^b – e^b \otimes e^a$$ 因此，它们组合成一个 二阶反对称张量，也就是一个 2-形式。
（2）一般 $k$ 形式和 $l$ 形式的外积
更一般地，若 $\omega \in \Lambda^k(V^)$、$\eta \in \Lambda^l(V^)$，则$$\omega \wedge \eta = \frac{(k+l)!}{k!\,l!}\operatorname{Alt}(\omega \otimes \eta)$$其中 $\operatorname{Alt}$ 是反对称化算子，它将张量映射到全反对称形式
外积：基本性质
- 反对称性（graded-commutative）
对于$\omega \in \Lambda^k(V^)，\eta \in \Lambda^l(V^)$，有 $$\omega \wedge \eta = (-1)^{kl} \eta \wedge \omega$$ - 线性
外积对每个因子都是线性的，支持标量乘法和加法。 - 结合性 $$(\omega_1 \wedge \omega_2) \wedge \omega_3 = \omega_1 \wedge (\omega_2 \wedge \omega_3)$$
几何直观意义
- 外积结合了多个 1-形式（线性泛函），形成一个可以作用于多个切向量的高阶反对称映射；
- 在二维中，$dx^1 \wedge dx^2$表示面积元素，在三维中，$dx^1 \wedge dx^2 \wedge dx^3$表示体积元素；
- 外积的反对称性体现了体积的方向性（交换因子会改变符号），适用于导出积分方向关系等。
IV. 流形上的 $k$ 形式场
（1） $(T^_pM)^{\otimes k}$ ：余切空间 $T^_pM$ 的 $k$ 次张量积空间
设 $M$ 是一 $n$ 维光滑流形，$p \in M$ 为一点。记 $T_p^M$ 为 $p$ 点处的余切空间。 对任意正整数 $k$，我们定义 $T_p^M$ 的 $k$ 次张量积空间为：
$$\left(T_p^M\right)^{\otimes k} := \underbrace{T_p^M \otimes \cdots \otimes T_p^M}_{k \text{ 次}}$$ 这是 $T_p^M$ 与自身的 $k$ 次张量积空间
其元素称为 $p$ 点处的 协变 $k$ 阶张量（covariant tensors of rank $k$），它们是如下类型的多重线性映射：
$$T_pM \times \cdots \times T_pM \to \mathbb{R}, \quad \text{（共 $k$ 个 $T_pM$）}$$
即它们将 $k$ 个切向量输入，输出一个实数，且关于每个变量线性。
（2） $\omega_p \in {(T^*_pM)^{\otimes k}}$ ：$k$-形式首先是 $k$ 阶协变张量
$T_p^*M$ 中的元素是线性函数（作用在 $T_pM$ 上），而其 $k$ 次张量积空间中元素是：
一个 $k$ 线性函数：$$\omega_p: \underbrace{T_pM \times \cdots \times T_pM}_{k \text{ 个}} \to \mathbb{R}$$它是关于每个变量线性的，但没有对称性或反对称性要求。
这类张量可以用来构造更一般的张量场、差分形式、对称张量等。
（3）$\omega_p \in \Lambda^k(T^*_pM))$：并且要求一个 $k$ 形式必须是一个完全反对称的 $k$ 阶协变张量
张量积空间 $T_p^*M^{\otimes k}$ 中的元素是任意的协变张量，而 $k$-形式是其中的一个子集：
- 所有 $k$ 阶完全反对称的协变张量构成（余切空间 $T^_pM$ 的）$k$ 次外幂空间（Exterior power）：$$\Lambda^k T_p^M \subset T_p^*M^{\otimes k}$$
- 即：$k$-形式是满足交错性条件的 $k$ 阶协变张量。
（4）$k$-形式场就是在流形的每一点选择一个 $k$ 形式，并要求这种选择随流形上点的变化是光滑变化的
定义：
一个 $k$-形式场（$k$-form field）是一个将流形上的每一点 $p \in M$ 映射到一个 $k$-形式 $\omega_p$ 的规则：$$\omega: p \mapsto \omega_p \in \Lambda^k T_p^*M$$并且要求这个映射在流形意义下光滑变化。
其中记号 $\Lambda^k (T^_pM)$ 表示余切空间 $T^_pM$ 的第 $k$ 外幂，也就是定义在流形上点 $p\in M$ 的切空间上的 $k$ 形式的集合
（5）$k$-形式场 $\omega \in \Omega^k(M)$ 可以直观地理解为：
在流形 $M$ 的每一个点 $p \in M$，我们选择一个定义在切空间 $T_pM$ 上的 $k$-形式 $$\omega_p \in \Lambda^k(T_p^*M)$$并要求这种选择在 $p$ 随流形变化时是 光滑的。
也就是说，$k$-形式场是将每个点处的 $k$-形式“拼接”在一起，形成一个全局的、光滑变化的几何对象。
（6）记流形 $M$ 上 $k$ -形式场的集合为 $\Omega^{k}(M)$
三、拉格朗日密度：动机
I. 系统的动力学定义在 Jet 丛上：拉格朗日量定义在是定义在 $J^1Y$ 上的函数（即流形 $J^1Y$ 上的标量场）
我们不加证明地指出（稍后说明原因）：在几何语言中，系统的动力学不再是传统意义上定义在点空间（如 $q(t), \dot q(t)$）的函数，而是定义在构型丛 $Y \to X$ 的截面及其导数组成的空间上，即一阶 Jet 丛 $J^1Y$。
我们引入以下结构：
- 构型丛 $\pi: Y \to X$
- $X$ 是底流形，例如经典力学中 $X = \mathbb{R}$ 表示时间轴；
- $Y$ 是总空间，纤维为构型空间 $Q$；
- 一个截面 $\Phi: X \to Y$ 给出系统在 $X$ 上的演化轨迹。
- 一阶 Jet 丛 $J^1Y$
- 每个点为某截面 $\Phi$ 在某点 $x \in X$ 的一阶 jet，记作 $j^1_x(\Phi)$；
- 局部坐标表示为 $(x^i, y^a, y^a_{\, i})$，其中：
- $y^a = \Phi^a(x)$ 表示截面在该点的值，
- $y^a_{\, i} = (\mathrm{d}\Phi_x)^a_{\, i}$ 表示 $\Phi^a$ 对 $x^i$ 的偏导。
拉格朗日量是定义在 Jet 丛上的函数：$$L: J^1Y \to \mathbb{R}, \quad L(x^i, y^a, y^a_{\, i})$$它对每一个截面及其导数赋值，用于后续构造作用泛函。
II. 函数不能直接在流形上积分：从拉格朗日量（函数）到拉格朗日密度
问题：函数 $L$ 与体积形式 $dx^1 \wedge \cdots \wedge dx^n$ 的组合并非天然几何对象
虽然 $L$ 是 Jet 丛上的一个良好函数，但我们若试图直接在 $X$ 上积分构造作用泛函：$$S[\Phi] = \int_X L(x^i, y^a(x), y^a_{\, i}(x)) \cdot dx^1 \wedge \cdots \wedge dx^n,$$这面临一个关键问题：
函数 $L$ 与体积形式 $dx^1 \wedge \cdots \wedge dx^n$ 的组合并非天然几何对象
原因在于：
- $L$ 只是一个数值函数，对坐标变换没有良好协变性；
- $dx^1 \wedge \cdots \wedge dx^n$ 是一个 $n$-形式，但二者组合缺乏几何意义；
- 因此整个表达式在坐标变换下会改变，积分值也不具有几何不变量性质。
这违反了物理要求：作用量应具有坐标无关性（特别是在时空协变理论中）。换言之，$L$ 本身不够几何，不可直接用于积分。
解决方案：将拉格朗日量提升为拉格朗日密度（$n$-形式场，注意 $n$ 是底空间维度而非总空间维度）
为克服上述问题，我们引入几何上天然良定义的对象 —— 拉格朗日密度 $\mathcal{L}$：
定义： 拉格朗日密度是定义在 Jet 丛 $J^1Y$ 上的一个 $n$-形式场，属于：$$\mathcal{L} \in \Omega^n(J^1Y)$$它在每一点 $j^1_x(\Phi) \in J^1Y$ 上赋予一个 $n$-形式，能够自然拉回到 $X$ 上进行积分。
现在我们可以以几何的方式重新构造作用泛函：
- 给定一个场 $\Phi: X \to Y$，其一阶 Jet 延拓是 $j^1\Phi: X \to J^1Y$；
- 拉格朗日密度 $\mathcal{L}$ 是 $J^1Y$ 上的一个 $n$-形式场；
- 我们将 $\mathcal{L}$ 沿 $j^1\Phi$ 拉回到 $X$ 上，得到一个可积分的 $n$-形式场： $$(j^1\Phi)^* \mathcal{L} \in \Omega^n(X)$$
- 最终作用泛函定义为：$$S[\Phi] := \int_X (j^1\Phi)^* \mathcal{L}$$
拉格朗日密度 $\mathcal{L}\in \Omega^n(J^1Y)$ 的优点
- $\mathcal{L}$ 是 $J^1Y$ 上的几何对象，不依赖坐标系统；
- 拉回后的 $(j^1\Phi)^* \mathcal{L}$ 是 $X$ 上的 $n$-形式场，可自然积分；
- 表达式在任意坐标变换下协变，积分值为几何不变量；
- 为变分与运动方程的导出提供了结构基础（如 Euler-Lagrange 方程的几何表达）。
四、拉格朗日密度：定义
在经典场论与几何变分理论中，拉格朗日密度（Lagrangian density）是定义动力学与作用量泛函的基本几何对象。它并非仅仅是一个函数，而是一个定义在 Jet 丛上的 $n$-形式场，其结构确保了作用量在流形上积分的协变性和几何不变性。
I. 几何背景：Jet 丛与拉格朗日结构的自然位置
设：
- $X$ 是 $n$ 维光滑流形，称为 底空间（Base space），例如时空；
- $\pi: Y \to X$ 是一个光滑纤维丛，称为 构型丛（Configuration bundle）；
- $J^1Y$ 是 $Y$ 的一阶 Jet 丛，其点 $j^1_x(\Phi)$ 描述截面 $\Phi: X \to Y$ 在点 $x$ 处的 $1$ 阶导数信息。
Jet 丛 $J^1Y$ 是定义变分系统与拉格朗日结构的自然空间
II. 拉格朗日密度的定义（作为 $n$-形式场）
我们定义：
拉格朗日密度 是 $J^1Y$ 上的一个 $n$-形式场（$n = \dim X$）：$$\mathcal{L} \in \Omega^n(J^1Y)$$即：$\mathcal{L}$ 是 $J^1Y$ 上余切丛 $T^*J^1Y$ 的 $n$ 次外幂丛上的一个光滑截面。
III. 水平 $n$-形式的约束（可积性要求）
注意，Jet 丛 $J^1Y$ 的维度大于 $X$，所以 $n$-形式可以有很多种构造方式。
但我们要求：
拉格朗日密度 $\mathcal{L}$ 是一个 “水平 $n$-形式” 场，即它在每一点 $j^1_x(\Phi) \in J^1Y$ 上，完全由底空间 $X$ 的方向诱导的余切空间张成：$$\mathcal{L}(j^1_x(\Phi)) \in \Lambda^n(\mathrm{Hor}^{j^1_x(\Phi)} J^1Y) \cong \Lambda^n T^_x X$$这里 $\mathrm{Hor}^*{j^1_x(\Phi)} J^1Y$ 表示与底空间 $X$ 平行方向相关的余切空间。
IV. 局部表达（坐标形式）
设 $x^i$ 是 $X$ 的局部坐标，$y^\mu$ 是 $Y$ 上纤维方向的局部坐标，$y^\mu_{\, i}$ 是一阶 Jet 坐标。
则 $\mathcal{L} \in \Omega^n(J^1Y)$ 的局部表达形如：
$$\mathcal{L} = L(x^i, y^\mu, y^\mu_{\, i}) \, dx^1 \wedge \cdots \wedge dx^n$$
其中：
- $L: J^1Y \to \mathbb{R}$ 是光滑函数，称为拉格朗日函数；
- $dx^1 \wedge \cdots \wedge dx^n$ 是底空间方向的体积 $n$-形式；
- 整体表达式是 Jet 丛 $J^1Y$ 上一个 $n$-形式（在坐标变换下具有良好协变性）。
疑问：如何用坐标 $1$-形式构造一个 $n$-形式场？
设：
- $M$ 是一个 $m$ 维光滑流形；
- $(U, \phi)$ 是 $M$ 上的一个局部坐标图，坐标函数为 $x^1, \dots, x^m$；
- 诱导出的坐标 $1$-形式为 $\mathrm{d}x^1, \dots, \mathrm{d}x^m \in \Omega^1(U)$；
我们希望构造一个定义在 ( M ) 上的 $n$-形式场（$n \leq m$）：
$$
\omega \in \Omega^n(M)
$$
(1)确定坐标诱导的 $n$-形式基
由坐标 $1$-形式外积可得：
$$
\mathrm{d}x^{i_1} \wedge \cdots \wedge \mathrm{d}x^{i_n}, \quad \text{其中 } 1 \leq i_1 < \cdots < i_n \leq m
$$
这组形式在每个局部开集 $U \subset M$ 上构成 $\Lambda^n T^*M$ 的局部基。
（2）引入光滑函数系数
任取一组光滑函数 $f_{i_1 \cdots i_n} \in C^\infty(U)$，定义：
$$
\omega := \sum_{1 \leq i_1 < \cdots < i_n \leq m} f_{i_1 \cdots i_n}(x) \cdot \mathrm{d}x^{i_1} \wedge \cdots \wedge \mathrm{d}x^{i_n}
$$
即：将坐标诱导的 $n$-形式基与光滑函数作为系数线性组合，得到一个局部定义的 $n$-形式场。
（4）说明其为 $n$-形式场
此构造满足：
- 对每个 $x \in U$，$\omega_x \in \Lambda^n(T^*_xM$；
- $\omega$ 对坐标变化有良好变换性（因坐标形式与函数系数皆适当变换）；
- 故 $\omega \in \Omega^n(U) \subset \Omega^n(M)$ 是一个 $n$-形式场。
V. 拉格朗日密度的拉回（在截面上）
给定一个截面 $\Phi: X \to Y$，我们可定义其一阶 Jet 延拓：
$$j^1\Phi: X \to J^1Y, \quad x \mapsto j^1_x(\Phi)$$
通过拉回操作，得到一个定义在 $X$ 上的 $n$-形式场：
$$(j^1\Phi)^\mathcal{L} \in \Omega^n(X)$$ 这是真正可以在 $X$ 上进行积分的对象： $$S[\Phi] := \int_X (j^1\Phi)^\mathcal{L}$$
这才是定义作用泛函（Action Functional）的几何正确表达。
五、总结
| 问题 | 解决方案 |
|---|---|
| 函数 $L$ 无法几何自然积分 | 提升为 $\mathcal{L}: J^1Y \to \Lambda^n(T^*(J^1Y))$ |
| 坐标变换下不具协变性 | $n$-形式具有良好坐标变换行为 |
| $S[\Phi]$ 在几何上不良定义 | 使用 $\mathcal{L}$ 保证几何良定义与物理协变性 |