Revised

There are several mistakes found in the former draft, including serious symbol abuse in composite function interpretation of pullback. Despite most of these are corrected in the current version, for better understanding of this part, you may refer to E02X

jet 丛 $J^1Y$ 作为光滑流形，拉格朗日密度是定义在其上的 $n$-形式场（$n=\text{dim} X$），我们希望通过 $X\to J^1Y$ 的（由截面 $\Phi$ 自然诱导的）映射 $j^1\Phi$ 将其拉回到流形 $X$ 上；但这涉及一些虽然简单但需要系统整理的背景知识，这些内容的系统性导出比较浪费篇幅（所以D02写得有点长），如果不追求逻辑上的环环相扣，相关概念可以以一种松散的递进顺序列出，本节基于这种想法编排相关内容。

一、前置：（光滑流形上）函数（即标量场）的拉回

I. 背景设置

设 $M$ 与 $N$ 为两个光滑流形，$\Phi: M \to N$ 为一个光滑映射（smooth map）。我们记 $C^\infty(N)$ 表示 $N$ 上的实值光滑函数的集合，即
$$C^\infty(N) := { f: N \to \mathbb{R} \mid f \text{ 是光滑函数} }$$

（1）$M,N$ 分别为 $m,n$ 维的光滑流形

（2）$\Phi:M\to N$ 是流形间的光滑映射

（3）$f\in C^{\infty}(N)$ 是 $N$ 上的光滑函数（取值于 $\mathbb{R}$ 的光滑映射）

II. 光滑流形 $N$ 上函数 $f$ 关于 $\Phi:M\to N$ 的拉回 $\Phi^*f$

$\Phi^*f := f\circ \Phi$ ：定义

给定 $f \in C^\infty(N)$，定义其沿 $\Phi$ 的拉回（pullback）为函数
$$\Phi^f := f \circ \Phi : M \to \mathbb{R}$$ 换言之，对任意 $p \in M$，有 $$(\Phi^f)(p) = f(\Phi(p))$$

（1）$\Phi$ 先将流形 $M$ 上的一点 $p\in M$ 推送到 $N$ 上的一点 $\Phi(p)\in N$

（2）$N$ 上的函数 $f$ 再将 $\Phi(p)$ 映到 $\mathbb{R}$ 上一点

（3）得到复合函数 $f\circ \Phi: M\to \mathbb{R}$

III. 函数空间的拉回算符 $\Phi^*$

记号 $\Phi^*: C^\infty(N) \to C^\infty(M)$ 是一个映射，称为函数空间的拉回算符（pullback operator）。该算符满足以下代数性质：

• 线性性：$\Phi^(af + bg) = a\Phi^f + b\Phi^*g$，其中 $a,b \in \mathbb{R}$，$f,g \in C^\infty(N)$；
• 乘法保持：$\Phi^(fg) = \Phi^f \cdot \Phi^*g$；
• 单位函数保持：$\Phi^*(1) = 1$，其中 $1$ 表示常值函数 $x \mapsto 1$。

IV. 总结

给出 $N$ 上的标量场 $f$ ，以及光滑流形间的映射 $\Phi: M\to N$
我们可以通过 $\Phi:M\to N$ 将 $N$ 上的标量场 $f$ 拉回 到 $M$ 上的标量场 $\Phi^* f$
之所以称为“拉回”，是相对拉回的媒介 $\Phi$ 的方向而言的

二、前置：光滑流形上的 $k$ 形式场

I. 余切空间 $T^*_p N$ 与 $k$ 次外代数

（1）流形 $N$ 上点 $p\in N$ 处的余切空间 $T^*_pN$

严格的数学定义：

流形 $N$ 上点 $p \in N$ 处的余切空间 $T^_pN$ 是 $p$ 点处切空间 $T_pN$ 的对偶空间，即$$T^_pN := \mathrm{Hom}(T_pN, \mathbb{R}),$$它由所有从 $T_pN$ 到实数域 $\mathbb{R}$ 的线性函数 （也就是向量空间 $T_pN$ 和实数域 $\mathbb{R}$ 的同态）构成。

（2）余切空间 $T_p^N$ 的第 $k$ 次外幂（外积）空间 $\Lambda^k(T^_pN)$

严格数学定义

$\Lambda^k(T_p^N)$ 是 $T_p^N$ 的第 $k$ 次外幂空间，亦即点 $p$ 处所有从 $(T_pN)^k$ 到 $\mathbb{R}$ 的完全反对称的 $k$-线性函数所构成的向量空间：$$\Lambda^k(T_p^*N) := { \omega: (T_pN)^k \to \mathbb{R} \mid \omega \text{ 多重线性且完全反对称} }$$

另外

记号说明：该记号 $\Lambda^k$ 源自外代数（exterior algebra） 中的外幂构造，符号 $\Lambda^k$ 表示对偶空间 $T_p^N$ 的 $k$ 次外积空间，其元素也称为 $k$-形式。外积符号 $\wedge$ 定义了 $\Lambda^\bullet(T_p^N)$ 中的代数结构。

（3）$\Lambda^k(T^*_pN)$ 上的一个元素 $\omega_p$ 称为流形的点 $p\in N$ 上的一个 $k$-形式

II. 流形上的 $k$-形式丛（Exterior Bundle）$\Lambda^k(T^*N)$

将流形上每一点的（余切空间 $T^pN$ 的 $k$ 次外幂空间） $\Lambda^k(T_p^N)$ 组织起来，可得一个光滑向量丛：
$$\Lambda^k(T^N) := \bigsqcup{p \in N} \Lambda^k(T_p^N)$$
称为 $N$ 上的 $k$-形式丛，或称为 $k$ 次外幂余切丛。这是一个以 $N$ 为底空间的光滑向量丛

$\Lambda^k(T^*N)$ 称为流形 $N$ 上的 $k$-形式丛，或称流形 $N$ 的 $k$ 次外幂余切丛

III. 流形 $N$ 上的 $k$ 形式场 $\omega: N \to \Lambda^k(T^*N)$

一个 $k$-形式场是$k$-形式丛上的一个光滑截面，即：
$$\omega \in \Gamma^\infty(\Lambda^k(T^N))=:\Omega^k(N) $$ 其中 $\Gamma^\infty$ 表示光滑截面空间。换句话说，$\omega$ 是一个映射 $$\omega: N \to \Lambda^k(T^N), \quad p \mapsto \omega_p \in \Lambda^k(T_p^*N)$$
使得 $\omega$ 相对于 $N$ 的光滑结构是光滑的

（1）流形 $N$ 的 $k$ 次外幂余切丛 $\Lambda^k(T^N)$ 上光滑截面的集合记作： $\Gamma^\infty(\Lambda^k(T^N))$

（2）流形 $N$ 上的一个 $k$-形式场 $\omega$ 就是 $\Gamma^\infty(\Lambda^k(T^*N))$ 中的一个截面

（3）记流形 $N$ 上的 $k$-形式场构成的集合为 $\Omega^k(N):=\Gamma^\infty(\Lambda^k(T^*N))$

（4）一个 $k$-形式场 $\omega$ 就是一个截面 $N\to \Lambda^k(T^N)$，也就是说 $\omega: p\mapsto \omega_p\in \Lambda^k(T^_pN)$

三、$k$-形式场的拉回

I. 背景设定

（1）$M,N$ 分别为 $m,n$ 维的光滑流形

（2）$\Phi:M\to N$ 是流形间的光滑映射

（3）$\omega: N\to \Lambda^k(T^*N)$ 是流形 $N$ 上的 $k$ 形式场

II. $k$-形式的拉回

$(\Phi^* \omega)p = \omega{\Phi(p)} \circ T_p\Phi^{\wedge k}$：定义

令 $p \in M$，$v_1, \dots, v_k \in T_pM$，则定义：
$$(\Phi^*\omega)p(v_1, \dots, v_k) := \omega{f(p)}\left((T_p\Phi)(v_1), \dots, (T_p\Phi)(v_k)\right)$$
即：

• 先通过局部切映射 $T_p\Phi$ 把 $T_pM$ 上切向量 $v_i$ 推送到 $T_{\phi(p)}N$；
• 然后用 $\omega_{\Phi(p)}$ 作用这些切向量，得到实数；
• 所以 $(\Phi^*\omega)_p$ 确实是 $M$ 上的 $k$-形式

$k$-形式的拉回可以近似写成函数链 $T_pM \xrightarrow{(\mathrm{d}\Phi)p} T{\Phi(p)}N \xrightarrow{\omega_{\Phi(p)}} \mathbb{R}$

II. $k$- 形式场的拉回

（0）由（底）流形间的映射 $\Phi:M\to N$ 诱导切丛间的切映射 $\text{d}\Phi:TM\to TN$

（1）$\text{d}\Phi_p$ 先将切空间 $T_pM$ 上的一点 $v\in T_pM$ 推送到 $T_{\Phi(p)}N$ 上的一点 $\text{d}\Phi_p(v)\in T_{\Phi(p)}N$

（2）$T_{\Phi(p)}N$ 上的 $k$-形式 $\omega_{\Phi(p)}$ 再将 $\left((\mathrm{d}\Phi)_p(v_1), \dots, (\mathrm{d}\Phi)_p(v_k)\right)$ 映到 $\mathbb{R}$ 上一点

四、拓展阅读

更加严格的语境下，我们采取的定义顺序是按照以下逻辑：

• 使用“光滑丛间光滑映射诱导切映射”的思路定义了流形间光滑映射 $\Phi: M\to N$ 在流形的切丛上诱导的切映射 $T\Phi: TM \to TN$，定义性质要求切映射满足局部表达式 $T_p\Phi(v)[f]=v[f\circ\Phi]$
• 然后定义流形上任意 切向量 $v$ 的推前 $\Phi_: T_pM\to T_{\Phi(p)}N$ ；要求满足 $\Phi_v[f]=v[f\circ\Phi]$
  • 但是 $v[f\circ\Phi]=:T_p\Phi(v)[f]$
  • 因此 $\Phi_*v = T_p\Phi (v),\quad v\in T_pM$；换言之 切向量的推前 和 （局部）切映射作用于切向量 本质上是同一回事
    • 如果（合理地）将切向量和推前后的切向量都视为（流形上光滑函数的）泛函，则 推前后的切向量作为泛函 可以写作复合函数形式 $\Phi_v:= v\circ\Phi^$， 其中 $\Phi^*$ 是定义在 $C^\infty(N)$ 上的拉回映射
    • 如果（非正式地）将切向量和推前后的切向量都视为（流形上1-形式的）泛函，则 推前后的切向量作为泛函 可以写作复合函数形式 $\Phi_* v := v\circ T^{\Phi(p)}\Phi =v\circ \Phi^$ ；其中$\Phi^$ 和局部余切映射 $T^{\Phi(p)}\Phi$ 都是1-形式的拉回，即定义在 $T^*_{\Phi(p)}N$ 上的拉回映射
  • 再切向量的推前的基础上定义 向量场的推前 $\Phi_* V$：要求满足局部表达式 $(\Phi_*V)_{\Phi(p)}[f]= V_p[f\circ \Phi]$
    • 但是 $V_p[f\circ\Phi] =: T_p\Phi(V_p)[f]$
    • 因此 $(\Phi_*V)_{\Phi(p)} = T_p\Phi(V_p)$；换言之 切向量场的推前 和 （局部）切映射作用于向量场在局部的场值 本质上是同一回事
    • 并且，向量场的推前映射 $\Phi_:\mathfrak{X}(M)\to\mathfrak{X}(N)$ 是截面空间间的映射（因为向量场可以视为切丛的截面）$\Phi_:\Gamma(TM)\to \Gamma(TN)$，其对具体向量场作用效果可以写作复合函数形式：$\Phi_* V= T\Phi \circ V\circ \Phi^{-1}$
• 然后利用 切映射 定义 余切映射 $T^\Phi:T^N\to T^M$ 为其对偶结构，即要求满足 局部表达式 $T^_{\Phi(p)}\Phi (\alpha)[v] = \alpha [T_p\Phi(v)]$
• 同理，利用 切向量的推前 定义 余切向量的拉回 $\Phi^: T^{\Phi(p)}N \to T^_pM$ 为其对偶结构，即要求满足 $\Phi^\alpha [v] = \alpha[\Phi* v]$
  • 但是 $\alpha[\Phi_* v]= \alpha[T_p\Phi(v)] =T^*_{\Phi(p)}\Phi (\alpha)[v]$
  • 因此 $\Phi^\alpha [v]=T^_{\Phi(p)}\Phi (\alpha)[v]$；换言之 1-形式的拉回 和 （局部）余切映射作用于1-形式 本质上是同一回事
    • 如果（合理地）将1-形式和拉回后的1-形式都视为（流形上切向量的）泛函，则 拉回后的1-形式作为泛函 可以写作复合函数形式 $\Phi^\alpha = \alpha\circ T_{p}\Phi = \alpha\circ \Phi_$ ，其中 $\Phi_*$ 和局部切映射 $T_p\Phi$ 都是切向量的推前，即定义在 $T_pM$ 上的推前映射
  • 再在 1-形式 的拉回的基础上定义 1-形式场的拉回 $\Phi^\omega$ ：要求满足局部表达式 $(\Phi^\omega)p[v] = \omega_p[\Phi*v]$
    • 但是 $\omega_p[\Phi_v]=\omega_p[T_p\Phi(v)]= T^_{\Phi(p)}\Phi(\omega_p)[v]$
    • 因此 $(\Phi^\omega)p= T^{\Phi(p)}\Phi(\omega_p)$；换言之 1-形式场的拉回 和 （局部）余切映射作用于1-形式场的局部场值 本质上是同一回事
    • 并且，1-形式场的拉回映射 $\Phi^:\Omega^1(N)\to \Omega^1(M)$ 也是截面空间间的映射（1-形式场可以视为余切丛的截面）$\Phi^:\Gamma(T^N\to T^M)$，其对具体1-形式场的作用效果可以写成复合函数形式：$\Phi^\omega = T^\Phi\circ\omega\circ\Phi$

在此整理复合函数形式的几个公式：$$\text{推前后的切向量： }\boxed{\Phi_v:= v\circ\Phi^}\,,\boxed{\Phi_* v := v\circ T^{\Phi(p)}\Phi =v\circ \Phi^}\quad ,$$$$\text{推前后的切向量场： }\boxed{\Phi* V= T\Phi \circ V\circ \Phi^{-1}}\quad ;$$
$$\text{拉回后的1-形式： }\boxed{\Phi^\alpha = \alpha\circ T_{p}\Phi = \alpha\circ \Phi_}\quad ,$$
$$\text{拉回后的1-形式场： }\boxed{\Phi^\omega = T^\Phi\circ\omega\circ\Phi}\quad .$$以及切向量的推前/1-形式的拉回的局部定义表达式：$$\boxed{(\Phi_V){\Phi(p)}[f]= V_p[f\circ \Phi]}\,,\boxed{(\PhiV){\Phi(p)} = T_p\Phi(V_p)}\quad;$$ $$\boxed{(\Phi^\omega)_p[v] = \omega_p[\Phiv]}\,,\boxed{(\Phi^\omega)p= T^{\Phi(p)}\Phi(\omega_p)}\quad .$$

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