一、拉格朗日密度：回顾
设：
- $X$ 是维数为 $n$ 的光滑定向流形（作为底空间）；
- $\pi: Y \to X$ 是维数为 $n + m$ 的纤维丛，总空间 $Y$ 表示构型空间；
- $J^1Y$ 是 $Y$ 的一阶 Jet 丛，局部坐标记为 $(x^i, y^\mu, y^\mu_{\, i})$；
- 截面 $\Phi: X \to Y$ 的一阶 Jet 延拓为 $j^1\Phi: X \to J^1Y$，点 $x \in X$ 映到 $j^1_x(\Phi) \in J^1Y$。
我们定义拉格朗日密度为：
$$\mathcal{L}: J^1Y \to \Lambda^n(\mathrm{Hor}^* J^1Y)$$
其中 $\mathrm{Hor}^* J^1Y$ 表示 $J^1Y$ 上的水平余切丛，其每一点处的纤维与 $T^*_x X$ 同构。
因此，对于每一点 $j^1_x(\Phi) \in J^1Y$，我们有：
$$\mathcal{L}(j^1_x(\Phi)) \in \Lambda^n(\mathrm{Hor}^_{j^1_x(\Phi)} J^1Y) \cong \Lambda^n T^_x X$$
I. 拉格朗日密度是一个“水平 $n$-形式”场
拉格朗日密度 $\mathcal{L}$ 是一个 “水平 $n$-形式” 场，即它在每一点 $j^1_x(\Phi) \in J^1Y$ 上，完全由底空间 $X$ 的方向诱导的余切空间张成：$$\mathcal{L}(j^1_x(\Phi)) \in \Lambda^n(\mathrm{Hor}^{j^1_x(\Phi)} J^1Y) \cong \Lambda^n T^_x X$$这里 $\mathrm{Hor}^*{j^1_x(\Phi)} J^1Y$ 表示与底空间 $X$ 平行方向相关的余切空间。
$J^1Y$ 上的水平 $n$-形式场：定义
在一阶 Jet 丛 $J^1Y$ 上，我们可以定义各种形式场（differential form fields）。
其中，水平 $n$-形式场（horizontal $n$-form field） 是一类特别重要的对象，它只沿底空间 $X$ 的方向取值，与纤维方向“正交”。
设 $X$ 是维数为 $n$ 的光滑流形，$Y \to X$ 是一个纤维丛，$J^1Y$ 为其一阶 Jet 丛。
我们称 $\mathcal{L} \in \Omega^n(J^1Y)$ 是一个水平 $n$-形式场，当且仅当在任一点 $j^1_x(s) \in J^1Y$ 处，它的值只作用在水平方向，即：
$$\mathcal{L}(j^1_x(s)) \in \Lambda^n(\mathrm{Hor}^{j^1_x(s)} J^1Y)$$ 其中 $\mathrm{Hor}^{j^1_x(s)} J^1Y$ 是 $J^1Y$ 上与底空间 $X$ 相切方向的余切空间（坐标上表现为 $dx^i$ 张量积张成的子空间）
什么叫做“水平 $n$ 形式场在任意点的取值只作用于水平方向”？
- 首先，所谓“在任意点的取值”
- 是指该场在空间某点的取值
- 在这里指 $\mathcal{L}$ 在 $J^1Y$ 上的某点 $j^1_x(s)=(x^i,y^\mu,y^\mu_{\,i})$上的取值
- $n$ 形式场在某点的取值自然是一个“$n$-形式”
- 而一个（$T_{j^1_x(s)}(J^1Y$) 上的） $n$ 形式就是一个 $n$ 阶完全反对称协变张量，取值于（$T_{j^1_x(s)}(J^1Y)$ 的）$n$ 形式空间 $\Lambda^n(T^*_{j^1_x(s)}(J^1Y))$
- 在此基础上，所谓“取值只作用于水平方向”
- 就是说当我们在 $\mathcal{L}(j^1_x(s))$ 的取值空间 $\Lambda^n(T^*_{j^1_x(s)}(J^1Y))$ 选取一个值，也就是一个 $n$-形式时
- 我们只选择这样的 $n$-形式，当它作用于 $T_{j^1_x(s)}(J^1Y)$ 上的切向量的张量积时，它：
- 仅当所有输入向量均为“水平向量”时才可能取非零值；
- 一旦任一输入向量沿纤维方向（即“垂直方向”），则结果为 $0$。
- 那么什么是 $T_{j^1_x(s)}(J^1Y)$ 上切向量的方向，有哪几种方向呢？
- 只需考察 $J^1Y$ 在该点的局部坐标 $(x^i,y^\mu,y^\mu_{\,i})$
- 我们知道流形上的局部坐标可以诱导该点切空间上的一组基，因为 $J^2Y$ 上的局部坐标就诱导了 $T_{j^1_x(s)}(J^1Y)$ 上的一组基，这组基就赋予了该切空间上“方向”的概念
- 水平方向（base direction）就是由 $x^i$ 诱导的切向量基方向
- 纤维方向（vertical directions from $Y \to X$）就是由 $y^{\mu}$ 诱导的切向量基方向
- Jet 方向（derivative directions, from $y^\mu_{, i}$）就是由 $y^\mu_{\,i}$ 诱导的切向量基方向
换言之，$\mathcal{L}(j^1_x(s))$ 的“作用对象”被限制在 $T_{j^1_x(s)}(J^1Y)$ 的一个子空间上，即“水平切空间” $\mathrm{Hor}{j^1_x(s)} J^1Y$。这意味着 $\mathcal{L}(j^1_x(s))$ 实际上属于外幂空间：
$$\mathcal{L}(j^1_x(s)) \in \Lambda^n \left( \mathrm{Hor}^{j^1_x(s)} J^1Y \right)
\subset \Lambda^n \left( T^_{j^1_x(s)} J^1Y \right)$$
这样的 $n$-形式称为 水平 $n$-形式。其组成部分仅由 $dx^i$ 张量积生成，不含 $dy^\mu$ 或 $dy^\mu_{\,i}$ 成分。
拉格朗日密度在 $J^1Y$ 上每点的取值为一个“水平$n$-形式”，意味着该 $n$ 形式可以由水平方向的坐标 $1$ 形式外积生成
$J^1Y$ 上的水平 $n$-形式场：局部坐标表示
在局部坐标系下，设 $J^1Y$ 的坐标为 $(x^i, y^\mu, y^\mu_{\, i})$，则水平 $n$-形式场形如：
$$\mathcal{L} = L(x^i, y^\mu, y^\mu_{\, i})\, dx^1 \wedge \cdots \wedge dx^n$$
其中：
- $L$ 是 Jet 丛上的一个光滑函数；
- 仅包含 $dx^i$ 项，不含 $dy^\mu$ 或 $dy^\mu_{\, i}$ 成分；
- 故属于 $\Lambda^n(\mathrm{Hor}^* J^1Y)$，是纯水平的 $n$-形式。
为什么拉格朗日场必须是水平 $n$-形式场？
- （Jet 丛上）水平 $n$-形式字段的核心特点是：它在 Jet 丛 $J^1Y$ 上，但其“取值方向”完全来自底空间 $X$。
- 只有这种结构的 $n$-形式场，才能通过截面 $j^1\Phi$ 拉回到 $X$ 上，变成一个 $X$ 上的可以积分的 $n$-形式场，从而用于定义作用量。
换言之：拉格朗日密度必须是水平 $n$-形式场，才能构成有几何意义的作用泛函。
二、拉格朗日密度的拉回 $\Phi^*\mathcal{L}$
I. 流形上的 $k$-形式场 $\omega$ 关于流形间光滑映射 $f$ 的拉回 $f^*\omega=\omega\circ f$
回顾：光滑流形 $N$ 上的 $k$ 形式场将流形映射到它的 $k$-形式丛（或称 $k$ 阶外幂丛（Exterior Power Bundle of the Cotangent Bundle））
光滑流形 $N$ 上的一个 $k$-形式场是这样一个映射
$$\omega \in \Omega^k(N): N \to \Lambda^k(T^N)$$ 其中 $\Lambda^k(T^N)$ 称为 $N$ 的 $k$ 形式丛，它的每一个元素是 $\Lambda^k(T^*_pN)$ 中的一个点
$k$-形式场的拉回：借助切映射 $\text{d}f$
- $f: M \to N$ 是光滑映射；
- $\omega \in \Omega^k(N)$ 是 $N$ 上的 $k$-形式场，即： $$\omega: N \to \Lambda^k(T^*N)$$
- 那么组合映射：
$$M \xrightarrow{f} N \xrightarrow{\omega} \Lambda^k(T^*N)$$
给出 $M$ 上每点 $p \in M$ 映到 $N$ 上点 $f(p)$ 处的 $k$-形式。
但这还不是 $M$ 上的 $k$-形式，因为：$M$ 上的 $k$-形式应满足：
在每个点 $p \in M$，给出一个 $k$-线性函数：$$(f^*\omega)_p: T_pM \times \cdots \times T_pM \to \mathbb{R}$$
我们真正定义 $f^*\omega$ 为 $M$ 上的 $k$-形式如下：
令 $p \in M$，$v_1, \dots, v_k \in T_pM$，则定义：
$$(f^*\omega)p(v_1, \dots, v_k) := \omega{f(p)}\left((\mathrm{d}f)_p(v_1), \dots, (\mathrm{d}f)_p(v_k)\right)$$
即：
- 先通过切映射 $\mathrm{d}f$ 把 $TM$ 上切向量 $v_i$ 推送到 $N$ 上 $T_{f(p)}N$；
- 然后用 $\omega$ 作用这些切向量，得到实数；
- 所以 $f^\omega$ 确实是 $M$ 上的 $k$-形式场，记作：$$ f^\omega \in \Omega^k(M)$$
（1）$k$-形式的拉回不是简单的复合函数
（2）但 $k$-形式的拉回可以写成函数链 $T_pM \xrightarrow{(\mathrm{d}f)p} T{f(p)}N \xrightarrow{\omega_{f(p)}} \mathbb{R}$
$f^*\omega$ 对 $T_pM$ 上的一组有序切向量的作用效果可以直观地表示为
$$T_pM
\xrightarrow{(\mathrm{d}f)p} T{f(p)}N
\xrightarrow{\omega_{f(p)}}
\mathbb{R}$$
（3）如果非要写成复合函数形式：$f^* \omega = \omega \circ \mathrm{d}f^{\wedge k}$
| 写法 | 意义说明 |
|---|---|
| $\omega \circ f$ | 映射到 $N$ 上某点的 $k$-形式，但不在正确的丛上，无法直接定义为 $M$ 上的 $k$-形式 |
| $f^* \omega$ | 真正定义在 $M$ 上的 $k$-形式，通过 $T_pM^k \to \mathbb{R}$ |
| $f^*\omega = \omega \circ \mathrm{d}f^{\wedge k}$ | 可接受的复合表达，表示先推向 $N$ 再作用于 $k$-形式 |
II. 拉格朗日密度语境下的情形
仿照上文，我们有：$(j^1\Phi)^*\mathcal{L} = \mathcal{L}\circ \text{d}(j^1\Phi)^{\wedge n}$
在我们的语境中：
- $\mathcal{L}$ 是 Jet 丛 $J^1Y$ 上的 $n$-形式场；
- $j^1\Phi: X \to J^1Y$ 是一个从 $X$ 到 Jet 丛的光滑映射；
- 故可定义其拉回：$$(j^1\Phi)^* \mathcal{L} \in \Omega^n(X)$$这是定义在 $X$ 上的 $n$-形式场，可自然地用于积分构造作用量
$$T_xX
\xrightarrow{(\mathrm{d}(j^1\Phi))x} T{j^1_x\Phi}J^1Y
\xrightarrow{\mathcal{L}_{\Phi(x)}}
\mathbb{R}$$
（1）截面的 jet 延拓 $j^1\Phi:X\to J^1Y$ 作为光滑流形间的光滑映射
（2）$j^1\Phi$ 通过它的切映射 $\text{d}(j^1\Phi)$ 将流形 $X$ 上的切向量推送为 $J^1Y$ 上的切向量
我们设：
- $X$ 是 $n$ 维底空间（独立变量空间），有局部坐标 $x^i$，
- $Y \to X$ 是一个纤维丛，总维度为 $m+n$，局部坐标 $(x^i, y^\mu)$，
- $\Phi: X \to Y$ 是 $Y$ 的一个截面，即在局部表达为：$$ \Phi(x) = (x^i, \Phi^\mu(x)) $$
- $j^1\Phi: X \to J^1Y$ 是 $\Phi$ 的一阶 jet 延拓，映射每个点 $x \in X$ 到：$$j^1_x(\Phi) := \left(x^i, \Phi^\mu(x), \partial_i \Phi^\mu(x) \right)$$是 $J^1Y$ 上一点的局部坐标表示。
考虑微分映射：
$$
(\mathrm{d}j^1\Phi)x: T_xX \to T{j^1_x(\Phi)} J^1Y
$$
它将底空间 $X$ 上某点 $x$ 的切向量 $v \in T_xX$，推送为 $J^1Y$ 上某点 $j^1_x(\Phi)$ 的切向量。
这个映射的几何意义：将底空间 $X$ 上的微小变化，通过截面 $\Phi$ 的一阶行为，提升为 Jet 丛 $J^1Y$ 上的变化。
要确定切映射对切向量的作用效果，只需确定 $\text{d}(j^1\Phi)_x$ 对 $\frac{\partial}{\partial x^i}$ 的作用效果
首先，我们知道任意映射 $f$ 的切映射$\text{d}f_x$ 对切向量基的作用效果为 $$\boxed{\text{d}f_x(\partial_i) = \partial_i [f^a] \partial_a}$$
当前语境下：
- $\text{d}f_x$ 被替换为 $\text{d}(j^1_x\Phi)_x$
- $\partial_i$ 就是 $T_xX$ 的坐标基
- $f^a$ 被替换为 $\text{d}(j^1_x\Phi)^a$，并且可以被分解为三部分：$f^a =(x^j, \Phi^{\mu},\Phi^\mu_{\,k})$
- 对应的，$\partial_a$ 作为 $T_{j^1_x\Phi}J^1Y$ 上的坐标基也可以分解为三部分
因此对于任意 $\partial_i$ 被推送到 $T_{j^1_x\Phi}J^1Y$ 的结果，我们也可以分三部分处理： - $\partial_i(x^j)\cdot \partial_j = \partial_i$
- $\partial_i(\Phi^{\mu})\cdot \partial_\mu$
- $\partial_i (\partial_k (\Phi^\mu))\cdot \frac{\partial}{\partial y^\mu_{\, j}}$
换言之
$$(\mathrm{d}j^1\Phi)x (v) = v^i \left( \left. \frac{\partial}{\partial x^i} \right|{j^1_x(\Phi)}
- \frac{\partial \Phi^\mu}{\partial x^i} \left. \frac{\partial}{\partial y^\mu} \right|_{j^1_x(\Phi)}
- \frac{\partial^2 \Phi^\mu}{\partial x^i \partial x^j} \left. \frac{\partial}{\partial y^\mu_{\,j}} \right|_{j^1_x(\Phi)} \right)$$
这说明，$T_xX$ 上的任意切向量被切映射 $\text{d}(j^1_x\Phi)$ 映射到 $T_{j^1_x\Phi}J^1Y$ 中的这样一个分量
- $x^i$ 分量：继承自 $X$；
- $y^\mu$ 分量：由 $\Phi^\mu(x)$ 对 $x^i$ 的导数给出；
- $y^\mu_i$ 分量：由 $\partial_i \Phi^\mu(x)$ 对 $x^j$ 的导数（即二阶导）给出。