一、作用量泛函：构造
设：
- $X$ 是一个定向的 $n$ 维光滑流形，表示独立变量空间（例如时间轴或时空）；
- $\pi: Y \to X$ 是一个维度为 $n + m$ 的纤维丛，总空间 $Y$ 表示构型丛；
- $\Phi: X \to Y$ 是一个光滑截面，表示系统的一个轨道或演化路径；
- $j^1\Phi: X \to J^1Y$ 是其一阶 Jet 延拓；
- $\mathcal{L} \in \Omega^n(J^1Y)$ 是一个 水平 $n$-形式场，称为拉格朗日密度。
则作用量泛函 $S$ 是如下定义于截面空间 $\Gamma(Y)$ 上的函数：
$$S[\Phi] := \int_X (j^1\Phi)^* \mathcal{L}$$
即：
- 先通过 $j^1\Phi$ 将拉格朗日密度 $\mathcal{L}$ 拉回到底空间 $X$ 上，得到一个 $X$ 上的 $n$-形式场；
- 然后在定向流形 $X$ 上对该 $n$-形式场进行积分，得到一个实数。
$S[\Phi]$ 是一个泛函，其输入为截面 $\Phi$，输出为实数 $\mathbb{R}$。
二、作用量泛函：数学结构
| 对象 | 类型 | 意义 |
|---|---|---|
| $\Phi$ | $\Phi \in \Gamma(Y)$ | 一条运动轨迹（系统演化的几何路径） |
| $j^1\Phi$ | $j^1\Phi: X \to J^1Y$ | 一阶 Jet 延拓（包含速度信息） |
| $\mathcal{L}$ | $\mathcal{L} \in \Omega^n(J^1Y)$ | Jet 丛上的水平 $n$-形式场（拉格朗日密度） |
| $(j^1\Phi)^*\mathcal{L}$ | $\in \Omega^n(X)$ | 被拉回到底空间的可积 $n$-形式 |
| $S[\Phi]$ | $\in \mathbb{R}$ | 一个实值函数，表示给定轨迹的“总作用量” |
三、做用量泛函：局部坐标表示
在 ject 丛 $J^1Y$ 上的局部坐标 $(x^i, y^\mu, y^\mu_{\, i})$ 下，若拉格朗日密度具有如下表达：
$$\mathcal{L} = L(x^i, y^\mu, y^\mu_{\, i})\, \mathrm{d}^n x
\quad\text{其中} \quad \mathrm{d}^n x := \mathrm{d}x^1 \wedge \cdots \wedge \mathrm{d}x^n$$
则其作用量在截面 $\Phi$ 下的值为：
$$S[\Phi] = \int_X L(x^i, \Phi^\mu(x), \partial_i \Phi^\mu(x))\, \mathrm{d}^n x$$
这正是物理中常见的“拉格朗日量积分”形式。
四、拉格朗日泛函：几何视角
- 拉格朗日密度 $\mathcal{L}$ 是定义在 Jet 丛 $J^1Y$ 上的水平 $n$-形式场；
- 通过截面 $\Phi$ 的一阶 Jet 延拓 $j^1\Phi$，可以将其拉回到底空间 $X$；
- 被拉回的形式 $(j^1\Phi)^*\mathcal{L}$ 是 $X$ 上的 $n$-形式，具有良好协变性与几何不变性；
- 作用量泛函 $S[\Phi]$ 是在流形 $X$ 上对该 $n$-形式的积分，是具有自然几何意义的实值泛函。
积分对定向流形上 $n$-形式是自然操作
设 $X$ 是一个 $n$ 维的定向光滑流形，我们关心定义在 $X$ 上的几何对象能否被“自然地”积分出一个实数。下面逐步解释为什么 积分 $n$-形式 ：$$\int_X \omega,\quad \omega\in \Omega^n(X),n=\text{dim}(X)$$是唯一合理且具有几何意义的积分构造
1. $n$-形式的积分定义只需用到定向光滑流形的结构
- 若 $\omega \in \Omega^n(X)$ 是一个 $n$-形式场，则可定义积分：$$\int_X \omega$$
- 这一定义只依赖于：
- 流形 $X$ 的拓扑结构（保证有坐标图覆盖）；
- $X$ 的光滑结构（保证微分形式可定义）；
- $X$ 的定向性（确保不同图中积分方向可统一）；
- 因此这是一个与坐标无关的几何构造。
2. 为什么必须是 $n$-形式才能在 $n$ 维流形上积分
- 微分形式 $\omega \in \Omega^k(X)$ 是 $k$ 阶反对称协变张量场；
- 若 $k < n$：积分维度不足，积分为零（或只能沿 $k$-维子流形进行）；
- 若 $k > n$：无法对 $n$ 个变量积分出 $k$ 个变量的积，积分不定义；
- 只有 $k = n$，才可以对整个流形 $X$ 进行积分，结果为实数。
3. 所以：$n$-形式场是“可积分场”的自然候选
- 对于 $n$ 维定向流形 $X$，可积几何量必须是 $n$-形式；
- 若某对象 $\mathcal{L}$ 在 $X$ 上能被积分，则必须先被构造成 $X$ 上的 $n$-形式场；
- 在作用量语境中，这就是 $(j^1\Phi)^*\mathcal{L}$ 的角色：它是一个真正活在 $X$ 上的 $n$-形式场，具备被积分的几何结构。
4. 积分操作本身是自然变换
- 在范畴语言中，“积分”是一个从 $n$-形式丛 $\Omega^n(X)$ 到实数集合 $\mathbb{R}$ 的自然变换：$$ \int_X : \Omega^n(X) \to \mathbb{R}$$
- 它满足如下自然性（naturality）：
- 对于光滑映射 $f:X’\to X$ 和 $n$-形式场 $\omega \in \Omega^n(X)$，有：$$\int_{X’} f^*\omega = \int_X \omega$$（若 $f$ 是微分同胚并保向）
- 这表示：积分结果不依赖于具体坐标表示，仅依赖于 $n$-形式的几何内容与流形结构；
- 因此：将 Jet 丛上的拉格朗日密度 $\mathcal{L}$ 拉回到底流形 $X$ 后进行积分，得到的作用量 $S[\Phi]$ 是具有自然几何意义的实值泛函。