本节作为作用量变分结构的几何铺垫，简要回顾微分形式，并介绍外微分与内积算子的定义与结构意义。
一、微分形式
设 $M$ 是一维数为 $n$ 的光滑流形。
- $k$-形式 $\omega_p$ 是一个将 $k$ 个切向量反对称地映射为实数的光滑函数：$$\omega_p \in \textstyle\bigwedge^k T^_p M \quad \Rightarrow \quad \omega \in \Omega^k(M) := \Gamma\left(\textstyle\bigwedge^k T^M\right)$$
- 对 $k$-形式场 $\omega \in \Omega^k(M)$，其几何意义是：每一点 $p \in M$ 上都有一个 $k$ 重反对称协变张量，随 $p$ 光滑变化
I. 微分形式 $\omega_p\in \Lambda^k(T^*_pM)$
II. 微分形式场 $\omega \in \Omega^k(M):= \Gamma (\Lambda^k(T^*M))$
二、外微分 $\mathrm{d}$
I. 直观理解：外微分是定义在“微分形式场”$\omega\in \Omega^k(M)$上的导数算子
外微分是定义在 微分形式场 上的 导数算子，用于建立“变化率”概念，构造闭形式、结构方程、Lie 导数等核心几何对象。
II. 基本定义：外微分是提升微分形式阶数的线性微分算子，满足四条性质
外微分是一个提升阶数的线性算子：
$$\mathrm{d}: \Omega^k(M) \to \Omega^{k+1}(M)$$
作用于 $k$-形式 $\omega$ 后得到 $(k+1)$-形式 $\mathrm{d}\omega$。
它唯一地由下列四条性质刻画：
| 性质 | 描述与意义 |
|---|---|
| (1) 线性 | $\mathrm{d}(a\omega + b\eta) = a\, \mathrm{d}\omega + b\, \mathrm{d}\eta$ 保证形式空间是线性空间，外微分是线性算子。 |
| (2) Leibniz 规则（反对称乘积） | 若 $\omega \in \Omega^k(M)$，$\eta \in \Omega^\ell(M)$，则： $\mathrm{d}(\omega \wedge \eta) = \mathrm{d}\omega \wedge \eta + (-1)^k \omega \wedge \mathrm{d}\eta$ 这是与楔积相容的导数性质。 |
| (3) 幂零性 | $\mathrm{d} \circ \mathrm{d} = 0$ 所有形式的外微分之后再微分恒为零，这是定义闭形式与上同调的核心结构。 |
| (4) 与函数微分一致 | 对 $f \in C^\infty(M)$，$\mathrm{d}f$ 是其在 $M$ 上的微分，即： $\mathrm{d}f (v) = v(f)$，其中 $v \in T_pM$。 这是与传统导数一致的起点，确保低阶情况下的一致性。 |
III. 直观解释
- 外微分是“形式化的导数”，不依赖于坐标系；
- 它将 $k$-形式推广为 $k+1$-形式，反映出局部几何结构的变化；
– 幂零性意味着没有“更高阶的变化”，从而形成闭形式与上同调结构。
IV. 局部坐标表达与计算规则
微分形式虽然具有坐标无关性，但其局部表达（特别是在计算中）依赖于坐标 1-形式的外积作为基底。这使得我们可以在局部坐标下计算外微分。
微分形式场的坐标展开：任何 $k$-形式场的值 $\omega_p$ 在点 $p$ 都可以用坐标 1-形式的外积线性组合表达
设 $U \subseteq M$ 是一张局部坐标图，坐标函数为 $(x^1, \dots, x^n)$。则在 $U$ 上：
- 任意 $1$-形式场可以表示为：$$\omega = \sum_i f_i(x)\, \mathrm{d}x^i$$
- 任意 $k$-形式场可以唯一地表示为：$$\omega = \sum_{1 \le i_1 < \dots < i_k \le n} f_{i_1 \dots i_k}(x)\, \mathrm{d}x^{i_1} \wedge \dots \wedge \mathrm{d}x^{i_k}$$其中 $f_{i_1 \dots i_k}(x)$ 是光滑函数。
这说明：任何 $k$-形式场的值 $\omega_p$ 在点 $p$ 都可以用坐标 1-形式的外积线性组合表达。
外微分的坐标计算规则
由于外微分满足：
- 与函数一致：$\mathrm{d}f = \sum_i \frac{\partial f}{\partial x^i} \mathrm{d}x^i$；
- 与楔积（即外积）满足 Leibniz 规则；
- 与 $\mathrm{d}x^i$ 互相独立，且 $\mathrm{d}(\mathrm{d}x^i) = 0$；
因此，外微分的计算归结为两步：
只需知道 $\mathrm{d}(f\, \mathrm{d}x^{I})$ 的规则即可（其中 $f$ 为函数，$\mathrm{d}x^{I}$ 是某个有序多指标的坐标 $k$-形式）：
$$\mathrm{d}(f\, \mathrm{d}x^{i_1} \wedge \dots \wedge \mathrm{d}x^{i_k})
= \mathrm{d}f \wedge \mathrm{d}x^{i_1} \wedge \dots \wedge \mathrm{d}x^{i_k}$$
（0）对于 $0$-形式场 $f$（即 $M$ 上的标量场，即 $M$ 上的光滑函数），外微分与函数微分一致（所谓函数的微分即 $\text{d}f:= \partial_i(f) \text{d}x^i$，即满足“函数的微分作用于切向量 = 切向量作用于函数”的微分映射 $\text{d}$）
- 函数的微分 $\mathrm{d}$
- 定义为这样一种微分映射：
- 对任意光滑函数 $f \in C^\infty(M)$，其微分 $\mathrm{d}f$ 是一个 $1$-形式场（即 $\mathrm{d}f \in \Omega^1(M)$）；
- 在每点 $p \in M$，$\mathrm{d}f_p$ 是一个余切向量，定义为：$$\mathrm{d}f_p(v) := v(f) = \left.\frac{d}{dt} f(\gamma(t)) \right|_{t=0}
\quad \text{其中 } v = \dot{\gamma}(0) \in T_pM$$即 $\mathrm{d}f_p(v)$ 是 $f$ 在 $p$ 点沿切向量 $v$ 的方向导数； - 因此，$\mathrm{d}: C^\infty(M) \to \Omega^1(M)$ 是从函数到 $1$-形式场的自然微分算子
- 外微分的定义要求：外微分作用于 $0$-形式（即光滑函数）时应等价于该函数的微分$$\boxed{
\text{即：}\quad \mathrm{d}|{C^\infty(M)} = \mathrm{d}{\text{func}} : f \mapsto \mathrm{d}f
}$$
（1）将被外微分的 $k$ 形式场写作 $1$-形式外积的线性组合表达 $\omega = f \text{d}x^I$
（2）将展开的光滑函数部分按光滑函数的外微分公式求外微分 $\text{d} f= \partial_i \text{d}x^i$，再与展开基求外积 $\text{d}f\wedge \text{d}x^I$
IV. 结构意义与后续用途
- 结合插入算子 $\iota_V$，外微分构成 Cartan 恒等式：$$£_V \omega = \iota_V \mathrm{d} \omega + \mathrm{d} \iota_V \omega$$这是 Lie 导数的结构基础；
- 在变分理论中，外微分将拉回的形式 $\Psi^*\omega$ 拆分为：
- 体积项（$\iota_{\delta\Psi} \mathrm{d} \omega$）
- 边界项（$\mathrm{d} \iota_{\delta\Psi} \omega$）
- 这正是 Cartan 型第一变分公式的结构来源。
三、内积算子（插入算子）$\iota_V$
内积算子是将 向量场 插入微分形式场的第一个槽，从而降低其次数的操作。在变分结构和 Cartan 公式中扮演关键角色。
- 给定 向量场 $V \in \mathfrak{X}(M)$ 与 $k$-形式场 $\omega \in \Omega^k(M)$，定义内积（插入）算子：$$\iota_V: \omega \mapsto \iota_V \omega,\quad \text{使满足 } \iota_V \omega(v_1, \dots, v_{k-1}) := \omega(V, v_1, \dots, v_{k-1})
\quad \in \Omega^{k-1}(M)$$ - 该操作降低形式次数：$\iota_V: \Omega^k(M) \to \Omega^{k-1}(M)$。
- 插入操作是 Cartan 公式和变分计算中连接向量场与微分形式的桥梁。
I. 插入算子 $\iota_V$：定义
- 设 $M$ 是光滑流形，$V \in \mathfrak{X}(M)$ 是一个光滑向量场；
- $\omega \in \Omega^k(M)$ 是一个 $k$-形式场；
- 内积算子 $\iota_V: \Omega^k(M) \to \Omega^{k-1}(M)$ 定义为：$$(\iota_V \omega)(v_1, \dots, v_{k-1}) := \omega(V, v_1, \dots, v_{k-1})$$对任意光滑向量场 $v_1, \dots, v_{k-1}$ 成立。
II. 插入算子 $\iota_V$：性质
| 性质 | 描述 |
|---|---|
| 降阶 | $\iota_V$ 使 $k$-形式场变为 $k-1$ 形式场，作用是“去掉一个槽” |
| 反对称保持 | 插入后的形式仍是反对称的 $(k-1)$-形式 |
| 线性 | $\iota_{aV + bW} = a\, \iota_V + b\, \iota_W$ |
| Leibniz 规则（用于 $\omega \wedge \eta$） | 若 $\omega \in \Omega^k$，$\eta \in \Omega^\ell$：$\iota_V(\omega \wedge \eta) = (\iota_V \omega) \wedge \eta + (-1)^k \omega \wedge \iota_V \eta$ |
| 幂零 | $\iota_V \circ \iota_V = 0$（因为 $\omega(V, V, \dots) = 0$） |
四、微分形式、外微分算子、插入算子的运算关系与自然性
以下是三类算子之间的基本关系：
- 对任意张量场 $V$ 与 $k$-形式场 $\omega$：$$\iota_V \omega = \omega(V, \cdot, \dots, \cdot)
\quad \text{是张量代数定义}$$ - 外微分与内积满足： $$£_V \omega := \iota_V \mathrm{d}\omega + \mathrm{d} \iota_V \omega
\quad \text{（Cartan 恒等式）}$$ - 内积不与外积交换，但满足：$$\iota_V(\omega \wedge \eta) = \iota_V \omega \wedge \eta + (-1)^k \omega \wedge \iota_V \eta$$
| 概念 | 类型 | 作用 |
|---|---|---|
| $\omega \in \Omega^k(M)$ | 微分形式场 | 反对称协变张量 |
| $\mathrm{d}$ | 外微分 | 升阶，构造闭形式、结构方程 |
| $\iota_V$ | 插入算子 | 降阶，插入向量，定义 Lie 导数的成分 |