本节引入向量场沿 流 产生的导数：Lie 导数 $£$。它在几何变分中刻画“形式沿着变分方向的变化”，是 Cartan 公式与拉回变分公式的关键结构。
一、直观理解：Lie 导数衡量“沿向量场的变化”
Lie 导数是微分几何中描述“对象如何被一个 流 拖动”而发生变化的几何结构。它可以作用在函数、向量场、微分形式场等各种对象上，提供它们在 $V$ 的场值方向上的变化率场。
在此我们将讨论限制在微分形式场的Lie导数
I. 向量场产生流：从向量到微分同胚族
直观理解：拖动物体的“动态背景”
设 $M$ 是光滑流形，$V \in \mathfrak{X}(M)$ 是一个光滑向量场。
直观地看，$V$ 为每个点 $p \in M$ 指定了一个“运动方向”。
我们可以将 $V$ 理解为一种“流体速度场”：
- 每个粒子 $p \in M$ 会随着时间 $t$ 沿着 $V$ 的方向移动；
- 移动后的位置由映射 $\phi_t(p)$ 给出，其中 $\phi_t: M \to M$ 是 $V$ 生成的局部流。
这些 $\phi_t$ 构成一个“几何上的动态系统”：每个点在 $t$ 时刻被 $\phi_t$ 拖动到新位置。
向量场 $V$ 产生的流的定义：从向量到微分同胚族
设 $M$ 是光滑流形，$V \in \mathfrak{X}(M)$ 是一个光滑向量场。我们希望刻画 $V$ 所诱导的“流动结构”。
- 给定任意初始点 $p \in M$，存在穿过 $p$ 的一维积分曲线 $\gamma_p: I_p \to M$，满足：$$\gamma_p(0) = p, \quad \dot{\gamma}_p(t) = V(\gamma_p(t))$$即 $\gamma_p$ 是向量场 $V$ 的积分曲线，沿着 $V$ 的方向“流动”。
- 若 $V$ 是完备的，则这些积分曲线可拼接成一个一参数微分同胚族： $$\phi_t: M \to M, \quad \text{满足：} \quad \phi_0 = \mathrm{id}M,\quad \frac{d}{dt} \phi_t(p)\big|{t=0} = V(p)$$此族 ${ \phi_t }_{t \in \mathbb{R}}$ 称为 $V$ 所生成的流。
- 对每个固定的 $t$，$\phi_t$ 是 $M$ 上的一个微分同胚（若 $V$ 是完备，则为全局微分同胚）；对每个 $p$，$t \mapsto \phi_t(p)$ 是 $V$ 的积分曲线。
II. 流动下的几何对象（张量场）变化：用拉回形式描述
我们接下来考虑：一个张量场在流动背景下如何“相对于初始点”变化。
设 $\omega \in \Omega^k(M)$ 是一个固定的 $k$-形式场。我们不令 $\omega$ 随着 $t$ 变化，而是固定 $\omega$，考察“参考系”随 $\phi_t$ 演化下所见的 $\omega$。
- 每个 $\phi_t$ 给出了 $M$ 上的一个微分同胚，因此诱导出一个 $k$-形式之间的拉回算子：$$\phi_t^*: \Omega^k(M) \to \Omega^k(M)$$表示“将形式 $\omega$ 从 $\phi_t(p)$ 拉回到 $p$”。
- 所得 $\phi_t^* \omega$ 是 $M$ 上的一族 $k$-形式场，随着参数 $t$ 的变化而变化，但每一项都是定义在 $M$ 上的。
几何对象（在此我们进讨论微分形式场）关于微分同胚 $\phi:M\to M$ 的拉回
当 $\phi: M \to M$ 是一个微分同胚（如由某个向量场 $V$ 生成的流 $\phi_t$），我们可以自然地将张量场、特别是微分形式场沿着 $\phi$ 拉回。
具体来说：
- 对任意 $k$-形式场 $\omega \in \Omega^k(M)$，其在点 $p \in M$ 的取值为 $\omega_{\phi(p)} \in \Lambda^k T^*_{\phi(p)} M$；
- 而 $\phi$ 在切空间上的导数 $T_p\phi: T_pM \to T_{\phi(p)}M$ 诱导出协变的线性映射：$$(T_p\phi)^{\wedge k}: \Lambda^k T^{\phi(p)}M \to \Lambda^k T^_pM$$
即：将 $k$ 个向量 $v_1, \dots, v_k \in T_pM$ 推前为 $T_p\phi(v_1), \dots, T_p\phi(v_k)$ 后，再用 $\omega{\phi(p)}$ 作用。
我们有结论：
微分形式场的拉回 $\phi^* \omega:= \omega \circ (T\phi)^{\wedge k}$
补充：一般几何对象（张量场）关于流形微分同胚的拉回（简要介绍）
| 类型 | $T$ 的类型 | 拉回规则 |
|---|---|---|
| 向量场 | $T \in \Gamma(TM)$ | $\phi^T := \mathrm{d}\phi^{-1} \circ T \circ \phi$（不常见*） |
| 1-形式 | $T \in \Gamma(T^*M)$ | $\phi^* \alpha_p (v) := \alpha_{\phi(p)}( \mathrm{d}\phi_p(v) )$ |
| $(0,k)$-张量（如微分形式） | $T \in \Omega^k(M)$ | 拉回由 $(T\phi)^{\wedge k}$ 诱导，简化为形式拉回 |
| $(r,0)$-张量（全反变） | 使用 $\mathrm{d}\phi_p^{-1}$ 在每个分量上作用 | |
| $(r,s)$-张量 | 混合使用 $\phi_*$ 与 $\mathrm{d}\phi$，如上主公式所示 |
我们简单概括流形 $M$ 上的几何对象关于微分（自）同胚 $\phi:M\to M$ 的拉回的几何意义和结构性质
- 几何意义：
- 拉回操作 $\phi^*T$ 描述的是：将 $\phi(M)$ 上的张量 $T$ “重定位”到 $M$ 上，使得其几何结构在 $\phi$ 下保持不变；
- 如果 $T$ 描述的是某种物理量（如应力、场强等），则 $\phi^*T$ 表示“固定参考系观察流动场”的等效表达。
- 结构性质：
- $\phi^*$ 保持张量类型不变；
- $\phi^$ 是张量代数上的同态，即：$$\phi^(T \otimes S) = \phi^T \otimes \phi^S$$
- 若 $\phi$ 是微分同胚，则 $\phi^*$ 是张量场空间的自同构；
- 对微分形式 $\omega$，拉回满足：$$\phi^(\mathrm{d}\omega) = \mathrm{d}(\phi^\omega)$$这是微分结构自然性的表现。
III. Lie 导数：几何对象（场）沿（向量场诱导的）流拉回后的变化率
正式地，我们定义 $k$ 形式场沿向量场 $V$ 的Lie导数为：$$\boxed{
£V \omega := \left. \frac{d}{dt} \phi_t^*\omega \right|{t=0}
}$$即：Lie 导数是微分形式沿流拉回后的变化率。
二、 $k$ 形式场的 Lie 导数： Cartan 表达式$£_V \omega = \iota_V \mathrm{d} \omega + \mathrm{d} \iota_V \omega$
在上一节中我们看到，Lie 导数的定义依赖于沿流 $\phi_t$ 的拉回导数：
$$£V \omega := \left. \frac{d}{dt} \phi_t^* \omega \right|{t=0}$$
但这需要显式构造流 $\phi_t$，在理论上不够普适。
我们现在给出 Lie 导数更具结构意义的定义——Cartan 表达式，它仅依赖于：
- 向量场 $V \in \mathfrak{X}(M)$；
- 外微分算子 $\mathrm{d}$；
- 插入算子（内积）$\iota_V$。
值得注意的是，该表达式仅适用于 微分形式场 这一几何对象，对于一般的张量场并不适用
I. Lie 导数的 Cartan 表达式定义
对任意微分形式场 $\omega \in \Omega^k(M)$，定义：$$\boxed{
£_V \omega := \iota_V \mathrm{d}\omega + \mathrm{d} \iota_V \omega
}$$此定义称为 Cartan 恒等式，它直接定义了 $V$ 对形式 $\omega$ 的 Lie 导数，而不依赖于流
II. Cartan 表达式中各项的几何含义
| 项目 | 几何含义 |
|---|---|
| $\iota_V$ | 内积算子：把 $V$ 插入形式中第一个变量中，降低次数 $k \to k-1$ |
| $\mathrm{d}\omega$ | 形式的外微分，提升次数 $k \to k+1$ |
| $\iota_V \mathrm{d}\omega$ | 表示“$V$ 对 $\omega$ 的微分行为的投影” |
| $\mathrm{d} \iota_V \omega$ | 表示“插入 $V$ 后再对结果的变化率” |
| $£_V \omega$ | 综合这两项，描述“$V$ 拖动 $\omega$ 时 $\omega$ 的瞬时变化率” |
III. 与流拉回定义的一致性
当 $V$ 是完备向量场，且 $\phi_t$ 是其诱导的流，对于形式场 $\omega$ 的 Lie 导数，两种定义是等价的：
$$£V \omega = \left. \frac{d}{dt} \phi_t^*\omega \right|{t=0} = \iota_V \mathrm{d} \omega + \mathrm{d} \iota_V \omega$$
这说明 Cartan 表达式不仅定义了形式场的 Lie 导数，还揭示了其结构公式。
IV. Cartan 恒等式的意义
| 符号 | 作用 |
|---|---|
| $\iota_V \mathrm{d} \omega$ | 先对 $\omega$ 求外微分，再插入 $V$：强调“整体结构的卷曲沿 $V$ 的投影” |
| $\mathrm{d} \iota_V \omega$ | 先插入 $V$，再取微分：强调“切片形式在 $M$ 上的扩张” |
二者加起来就是“$\omega$ 随着 $V$ 的流同时变化 + 被拖动”的整体变化。
该表达式不依赖于具体流 $\phi_t$ 的存在，因此适用于局部定义、形式计算与无穷维空间。
V. 运算性质
| 性质 | 表达式 |
|---|---|
| 线性 | $£_{aV + bW} = a\, £_V + b\, £_W$ |
| Leibniz 对楔积 | $£_V(\omega \wedge \eta) = (£_V \omega) \wedge \eta + \omega \wedge (£_V \eta)$ |
| 与外微分可交换 | $£_V \circ \mathrm{d} = \mathrm{d} \circ £_V$（因为 $\mathrm{d}^2 = 0$） |
VI. 举例（坐标计算）
设 $M = \mathbb{R}^3$，$V = x \frac{\partial}{\partial y} – y \frac{\partial}{\partial x}$，$\omega = x\, \mathrm{d}y$，则：
- $\iota_V \omega = x \cdot V^y = x \cdot x = x^2$；
- $\mathrm{d}\omega = \mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y$；
- $\iota_V \mathrm{d}\omega = \iota_V (\mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y) = V^x \mathrm{d}y – V^y \mathrm{d}x = (-y)\mathrm{d}y – x\, \mathrm{d}x$；
- 故 $£_V \omega = \iota_V \mathrm{d}\omega + \mathrm{d} \iota_V \omega = (-y)\mathrm{d}y – x\, \mathrm{d}x + \mathrm{d}(x^2) = -x\, \mathrm{d}x – y\, \mathrm{d}y + 2x\, \mathrm{d}x = (x\, \mathrm{d}x – y\, \mathrm{d}y)$。