一、切映射，向量场的推前
I. 流形间光滑映射 $\Phi: M\to N$ 诱导切映射 $T\Phi: TM \to TN$
切映射的性质定义式：$T_p\Phi(v_p)[f]=v_p[f\circ \Phi] \,\,\forall f\in C^\infty(N)$
切映射可以被逐纤维定义 $T_p\Phi: T_pM\to T_{\Phi(p)}N$
II. 切向量的推前 $\Phi_*v_p := T_p\Phi (v_p)$
（1）切向量推前 $\Phi_$ 的性质定义式：$\Phi_(v_p)[f]=v_p[f\circ \Phi] \,\,\forall f\in C^\infty(N)$
（2）该定义说明：切向量推前实际上就是切映射对切向量的作用结果 $\Phi_*v_p := T_p\Phi (v_p)$
（3）切向量推前的坐标表示：用坐标基向量的推前说明
设 $M$ 上有坐标图 $(x^1, \dots, x^n)$，点 $p$ 的局部坐标为 $(x^1(p), \dots, x^n(p))$，
$\Phi$ 在坐标表示下给出：
$$\Phi(x^1, \dots, x^n) = (y^1(x), \dots, y^n(x))$$
其中每个 $y^j$ 是 $x^i$ 的光滑函数。则坐标基向量的推前为：
$$\boxed{T_p\Phi \left( \left. \frac{\partial}{\partial x^i} \right|p \right) = \sum{j=1}^n \left. \frac{\partial y^j}{\partial x^i} \right|p \cdot \left. \frac{\partial}{\partial y^j} \right|{\Phi(p)}}$$
也就是说，切映射在坐标基下由雅可比矩阵 $J = \left( \frac{\partial y^j}{\partial x^i} \right)$ 实现。
将切向量视为切空间上的点 $v_p\in T_pM$，则（切向量的）推前映射是切空间间的映射：$\Phi_*: T_pM\to T_{\Phi(p)}N$
III. 向量场的推前 $\Phi_* V$ 的定义：通过切映射定义 $\Phi_*V:= T\Phi \circ V\circ \Phi^{-1}$
（1）向量场推前的性质定义式：$(\Phi_*V)_{\Phi(p)}[f] = V_p[f\circ \Phi]$
（2）该定义说明：切向量场的推前，实际上就是切映射逐点作用于向量场在该点的取值的结果 $(\Phi_* V)_{\Phi(p)} := T_p\Phi(V_p)$
将向量场视为切丛的一个截面 $V\in \Gamma(TM)=:\mathfrak{X}(M)$，则（向量场的）推前映射是截面空间间的映射：$\Phi_*:\Gamma(TM)\to \Gamma(TN)$
二、余切映射，余切向量场的拉回
I. 流形间的光滑映射 $\Phi: M\to N$ 诱导余切映射 $T^\Phi:T^N\to T^*M$
余切映射的定义性质：$T^*{\Phi(p)}\Phi (\alpha{\Phi(p)})[v_p]= \alpha_{\Phi(p)}[T_p\Phi(v_p)]$
余切映射可以被逐纤维定义：$T^{\Phi(p)}\Phi:T^{\Phi(p)}N\to T^*_p(M)$
II. 余切向量（$1$-形式）的拉回：$\Phi^* \alpha_{\Phi(p)}:= T^*{\Phi(p)}\Phi(\alpha{\Phi(p)})$
（1）$1$-形式拉回的性质定义式：$\Phi^* (\alpha_{\Phi(p)})[v_p]= \alpha_{\Phi(p)}[T_p\Phi(v_p)]\,\,\forall v_p\in T_pM$
（2）该定义说明：余切向量拉回实际上就是余切映射对余切向量的作用结果 $\Phi^* \alpha_{\Phi(p)}:= T^*{\Phi(p)}\Phi(\alpha{\Phi(p)})$
（3）$1$-形式拉回的坐标表示：用坐标 $1$-形式（基）的拉回说明
$$\boxed{
T_{\Phi(p)}^*\Phi \left( \mathrm{d}y^j \right)
= \sum_{i=1}^n \left. \frac{\partial y^j}{\partial x^i} \right|_p \cdot \mathrm{d}x^i
}$$
将 $1$-形式视为余切空间上的点，则（余切向量的）拉回是余切空间间的映射：$\Phi^: T^_{\Phi(p)}N \to T^*_pM$
III. $1$-形式场拉回的定义：通过余切映射定义：$\Phi^\omega:= T^\Phi\circ\omega\circ\Phi$
（1）$1$-形式场拉回的性质定义式：$(\Phi^\omega)p[v_p]=\omega{\Phi(p)}[\Phi_ v_p]$
（2）该定义说明：$1$-形式场的拉回，实际上就是余切映射逐点 作用于$1$-形式场在该点的取值的结果 $(\Phi^\omega)p:= T^{\Phi(p)}(\omega_{\Phi(p)})$
将余切向量场视为余切丛的一个截面 $\omega \in \Gamma(T^N)=:\Omega(N)$，则（向量场的）推前映射是截面空间间的映射：$\Phi_:\Gamma(T^N)\to \Gamma(T^M)$
三、逻辑顺序梳理：函数的拉回-切映射（-切向量的推前）-余切映射（-1-形式的拉回）
在前文的两节中，我们采取的定义顺序是按照以下逻辑：
- 使用“光滑丛间光滑映射诱导切映射”的思路定义了流形间光滑映射 $\Phi: M\to N$ 在流形的切丛上诱导的切映射 $T\Phi: TM \to TN$，定义性质要求切映射满足局部表达式 $T_p\Phi(v)[f]=v[f\circ\Phi]$
- 然后定义流形上任意 切向量 $v$ 的推前 $\Phi_: T_pM\to T_{\Phi(p)}N$ ；要求满足 $\Phi_v[f]=v[f\circ\Phi]$
- 但是 $v[f\circ\Phi]=:T_p\Phi(v)[f]$
- 因此 $\Phi_*v = T_p\Phi (v),\quad v\in T_pM$；换言之 切向量的推前 和 （局部）切映射作用于切向量 本质上是同一回事
- 如果（合理地）将切向量和推前后的切向量都视为（流形上光滑函数的）泛函，则 推前后的切向量作为泛函 可以写作复合函数形式 $\Phi_v:= v\circ\Phi^$， 其中 $\Phi^*$ 是定义在 $C^\infty(N)$ 上的拉回映射
- 如果（非正式地）将切向量和推前后的切向量都视为（流形上1-形式的）泛函，则 推前后的切向量作为泛函 可以写作复合函数形式 $\Phi_* v := v\circ T^{\Phi(p)}\Phi =v\circ \Phi^$ ；其中$\Phi^$ 和局部余切映射 $T^{\Phi(p)}\Phi$ 都是1-形式的拉回，即定义在 $T^*_{\Phi(p)}N$ 上的拉回映射
- 再切向量的推前的基础上定义 向量场的推前 $\Phi_* V$：要求满足局部表达式 $(\Phi_*V)_{\Phi(p)}[f]= V_p[f\circ \Phi]$
- 但是 $V_p[f\circ\Phi] =: T_p\Phi(V_p)[f]$
- 因此 $(\Phi_*V)_{\Phi(p)} = T_p\Phi(V_p)$；换言之 切向量场的推前 和 （局部）切映射作用于向量场在局部的场值 本质上是同一回事
- 并且，向量场的推前映射 $\Phi_:\mathfrak{X}(M)\to\mathfrak{X}(N)$ 是截面空间间的映射（因为向量场可以视为切丛的截面）$\Phi_:\Gamma(TM)\to \Gamma(TN)$，其对具体向量场作用效果可以写作复合函数形式：$\Phi_* V= T\Phi \circ V\circ \Phi^{-1}$
- 然后利用 切映射 定义 余切映射 $T^\Phi:T^N\to T^M$ 为其对偶结构，即要求满足 局部表达式 $T^_{\Phi(p)}\Phi (\alpha)[v] = \alpha [T_p\Phi(v)]$
- 同理，利用 切向量的推前 定义 余切向量的拉回 $\Phi^: T^{\Phi(p)}N \to T^_pM$ 为其对偶结构，即要求满足 $\Phi^\alpha [v] = \alpha[\Phi* v]$
- 但是 $\alpha[\Phi_* v]= \alpha[T_p\Phi(v)] =T^*_{\Phi(p)}\Phi (\alpha)[v]$
- 因此 $\Phi^\alpha [v]=T^_{\Phi(p)}\Phi (\alpha)[v]$；换言之 1-形式的拉回 和 （局部）余切映射作用于1-形式 本质上是同一回事
- 如果（合理地）将1-形式和拉回后的1-形式都视为（流形上切向量的）泛函，则 拉回后的1-形式作为泛函 可以写作复合函数形式 $\Phi^\alpha = \alpha\circ T_{p}\Phi = \alpha\circ \Phi_$ ，其中 $\Phi_*$ 和局部切映射 $T_p\Phi$ 都是切向量的推前，即定义在 $T_pM$ 上的推前映射
- 再在 1-形式 的拉回的基础上定义 1-形式场的拉回 $\Phi^\omega$ ：要求满足局部表达式 $(\Phi^\omega)p[v] = \omega_p[\Phi*v]$
- 但是 $\omega_p[\Phi_v]=\omega_p[T_p\Phi(v)]= T^_{\Phi(p)}\Phi(\omega_p)[v]$
- 因此 $(\Phi^\omega)p= T^{\Phi(p)}\Phi(\omega_p)$；换言之 1-形式场的拉回 和 （局部）余切映射作用于1-形式场的局部场值 本质上是同一回事
- 并且，1-形式场的拉回映射 $\Phi^:\Omega^1(N)\to \Omega^1(M)$ 也是截面空间间的映射（1-形式场可以视为余切丛的截面）$\Phi^:\Gamma(T^N\to T^M)$，其对具体1-形式场的作用效果可以写成复合函数形式：$\Phi^\omega = T^\Phi\circ\omega\circ\Phi$
在此整理复合函数形式的几个公式：$$\text{推前后的切向量： }\boxed{\Phi_v:= v\circ\Phi^}\,,\boxed{\Phi_* v := v\circ T^{\Phi(p)}\Phi =v\circ \Phi^}\quad ,$$$$\text{推前后的切向量场： }\boxed{\Phi* V= T\Phi \circ V\circ \Phi^{-1}}\quad ;$$
$$\text{拉回后的1-形式： }\boxed{\Phi^\alpha = \alpha\circ T_{p}\Phi = \alpha\circ \Phi_}\quad ,$$
$$\text{拉回后的1-形式场： }\boxed{\Phi^\omega = T^\Phi\circ\omega\circ\Phi}\quad .$$以及切向量的推前/1-形式的拉回的局部定义表达式：$$\boxed{(\Phi_V){\Phi(p)}[f]= V_p[f\circ \Phi]}\,,\boxed{(\PhiV){\Phi(p)} = T_p\Phi(V_p)}\quad;$$ $$\boxed{(\Phi^\omega)_p[v] = \omega_p[\Phiv]}\,,\boxed{(\Phi^\omega)p= T^{\Phi(p)}\Phi(\omega_p)}\quad .$$
四、切向量的拉回，余切向量的推前
I. 切向量的拉回，切向量场的拉回
切向量的拉回 $\Phi^* w:=(\Phi^{-1})_* w$
切向量场的拉回 $\Phi^* W:=(\Phi^{-1})_* W$
设 $\Phi: M \to N$ 是一个微分同胚，即存在光滑逆映射 $\Phi^{-1}: N \to M$，则我们可以定义 $N$ 上向量场 $W \in \mathfrak{X}(N)$ 沿 $\Phi$ 的拉回为：$$\boxed{
\Phi^* W := (\Phi^{-1})_* W = T(\Phi^{-1}) \circ W \circ \Phi
}$$其中第一个等号定义了切向量场的拉回，第二个等号是来自切向量场推前的定义
II. 余切向量的推前，余切向量场的推前
余切向量的推前 $\Phi_\beta:= (\Phi^{-1})_ \alpha$
余切向量场的推前 $\Phi_* \gamma := (\Phi^{-1})^* \gamma$
类似地，设 $\gamma \in \Omega^1(M)$ 是定义在 $M$ 上的 $1$-形式场，我们可以定义它沿 $\Phi$ 的推前为：
$$\boxed{
\Phi_* \gamma := (\Phi^{-1})^* \gamma = T^*\Phi^{-1} \circ \gamma \circ \Phi
}$$
五、任意张量场的拉回
一个张量场 $T \in \Gamma(\mathcal{T}^{(r,s)}M)$ 是一个 $(r,s)$ 型张量：接受 $s$ 个向量和 $r$ 个 1-形式为输入，返回标量。
设 $\phi: M \to M$ 为微分同胚，张量场关于其的拉回定义为：
定义：$\phi^* T$ 是使得如下恒等式成立的唯一张量场：$$\boxed{
(\phi^* T)p(v_1, \dots, v_s; \alpha^1, \dots, \alpha^r) = T{\phi(p)}(T_p\phi(v_1), \dots, T_p\phi(v_s); T^_p\phi(\alpha^1), \dots, T^_p\phi(\alpha^r))
}$$
也就是说， 张量场的拉回 $\phi^*T$ 作用于一组切向量和余切向量，等价于：
- 将向量输入项 $v_i$ 推前至 $\phi(p)$；
- 将 1-形式输入项 $\alpha^j$ 拉回至 $\phi(p)$；
- 在 $\phi(p)$ 处由 $T$ 给出结果。
六、拉回算子的结构性质
设 $\Phi: M \to N$ 是一个微分同胚（diffeomorphism），我们总结它诱导的拉回 $\Phi^*$ 在几何对象上的重要结构性质。
I. 张量积结构的自然性
拉回 $\Phi^$ 是张量代数上的代数同态，即满足： $$\boxed{ \Phi^(T \otimes S) = \Phi^T \otimes \Phi^S
}$$
此外也满足：
- 作用于函数的拉回 $\Phi^*f = f \circ \Phi$；
- 对任意自然张量运算（例如对称、外积、收缩等）都有：$$\boxed{
\Phi^* (\mathcal{F}(T)) = \mathcal{F}(\Phi^*T)
}$$
这使得拉回成为张量代数中的函子性操作，并保持各类张量操作结构的自然一致性。
拉回是张量代数中的”函子性操作“，并保持各类张量操作结构的自然一致性
II. 类型保持（Type Preservation）
对于任意张量场 $T \in \Gamma(\mathcal{T}^{(r,s)}M)$，其拉回 $\Phi^T$ 仍然是一个 $(r,s)$ 型张量场： $$T \in \Gamma(\mathcal{T}^{(r,s)}M) \quad \Longrightarrow \quad \Phi^T \in \Gamma(\mathcal{T}^{(r,s)}M)$$
这意味着拉回不会改变张量的“输入结构”：接受 $s$ 个向量，$r$ 个 1-形式。
II. 张量积与对称性保持（Compatibility with Tensor Operations）
拉回与张量代数中的基本结构运算相容：
（1）张量积保持
$$\boxed{
\Phi^(T \otimes S) = \Phi^T \otimes \Phi^*S
}$$
（2）对称性与反对称性保持
若张量 $T$ 在某些指标上对称或反对称，则其拉回 $\Phi^*T$ 在对应指标上具有相同性质。
例如：
- 微分形式是全反对称 $(0,k)$ 张量，其拉回仍是全反对称的 $k$-形式；
- 对称张量的拉回仍保持对称性。
换言之：拉回 $\Phi^*$ 是一个张量代数上的同态
III. 外微分与拉回的交换性（For Differential Forms）
对于任意 $k$-形式 $\omega \in \Omega^k(M)$，拉回与外微分 $\mathrm{d}$ 交换：
$$\boxed{
\Phi^(\mathrm{d} \omega) = \mathrm{d}(\Phi^ \omega)
}$$
证明思路：
- 利用外微分的局部定义（基于 $C^\infty$ 函数与 1-形式），结合拉回在函数与 1-形式上的定义；
- 结构上源于外微分的自然性（functoriality）；
- 实质上说明：$\mathrm{d}$ 是自然变换，故与光滑映射拉回交换。
这是微分几何中极其重要的结构性质，使得“形式的变化结构”在光滑变换下保持一致性。
IV. 自同构性质（当 $\Phi$ 为微分自同胚）
若 $\Phi: M \to M$ 是微分自同胚，即 $\Phi$ 可逆且 $\Phi^{-1}$ 也是光滑的，则拉回算子 $\Phi^*$ 是张量场空间上的自同构，满足：
- 可逆性：$$\boxed{
(\Phi^{-1})^* \circ \Phi^* = \mathrm{id}, \quad \Phi^* \circ (\Phi^{-1})^* = \mathrm{id}
}$$ - 在各类张量空间上均为线性同构映射；
- 保持张量类型与代数结构。
结论：由流形
自同胚诱导的拉回操作在微分形成张量空间的自同构，为构造“等价几何结构”提供基础。