C01 是本节的前置知识，尽管在编排上靠后，仍应先阅读 C01
目的：把“截面在一点的值 + 它的一阶导数信息”打包成一个全局几何对象。
在拉格朗日力学中，拉格朗日密度 $L$ 就定义在 $J^1Y$ 上。
我们将按以下结构讲解：
- 动机：为什么需要 Jet 丛
- 概念准备：截面在点的“一阶等价”
- 严格定义：一阶 jet，一阶jet空间，和一阶 Jet 丛 $J^1Y$
- 投影与丛结构（$J^1Y \to Y$，$J^1Y \to X$）
- 局部坐标表达 $(x^\mu, y^a, y^a_\mu)$
- 作为仿射丛：$J^1Y$ ≅ affine bundle modeled on $\mathrm{Hom}(T_xX, V_yY)$
- Jet 延拓 $j^1\phi$（如何把轨迹提升进 $J^1Y$）
- 物理示例：一维时间底 → 速度坐标
- 小结表
一、Jet 丛：构建动机
我们已经有：
- 构型丛 $\pi: Y \to X$
- 截面 $\Phi: X \to Y$
- 微分 $\text{d}\Phi: TX \to TY$
出发点：不同的截面若在某点取值相同、导数也相同，它们在“拉格朗日密度的局部计算”上应是不可区分的。我们希望将这些不可区分的截面归于一个等价类，再研究所有等价类构成的整体，并建立相关几何结构。
Step 1：给定一个点 $x \in X$，定义局部截面构成的集合 $\mathcal{S}_x$
在该点 $x$ 附近，考虑在某邻域 $U \ni x$ 上定义的光滑局部截面：
$$\Phi: U \to E, \quad \text{使得 } \pi \circ \Phi = \text{id}_U$$
所有满足该条件的这些局部截面 （$\Phi,\Psi,…$）构成集合 $\mathcal{S}_x$ （显然， $\mathcal{S}$ for sections）。
Step 2：在集合 $\mathcal{S}_x$ 上定义（一阶）等价关系 $\sim _x^1$
我们说两个局部截面 $\Phi, \Psi \in \mathcal{S}_x$ 是一阶等价的，记作：
$$\Phi \sim_x^1 \Psi \quad \Longleftrightarrow \quad \Phi(x) = \Psi(x)\ \text{且}\ \mathrm{d}\Phi|_x = \mathrm{d}\Psi|_x$$
这个等价关系由两个信息决定：
- 截面在该点的取值：$\Phi(x) \in E_x$
- 截面在该点的导数：$\mathrm{d}\Phi|x: T_xB \to T{\Phi(x)}E$，并满足丛结构的兼容性条件（即 $\pi \circ \Phi = \text{id}U$ 蕴含 $\mathrm{d}\pi \circ \mathrm{d}\Phi = \text{id}{T_xB}$）
导数 = 切映射
Step 3：由等价关系定义等价类 $j^1_x\Phi$ ( 代表元是 $\Phi$)，一个该等价类称为一个“一阶 jet”
因此我们常将 Jet 等价类表示为三元组：$$\boxed{j^1_x \Phi = \left(x,\ y^a = \Phi^a(x),\ y^a_i = \frac{\partial \Phi^a}{\partial x^i}(x)\right)}$$分别代表：
- $x$ label 了定义该等价类的集合 $\mathcal{S}_x$，即改等价类包含的元素是点 $x\in X$ 上的局部截面，定义该等价类的数据是截面在该点 $x$ 上的数据
- $y^a$ 代表等价类内所有截面（等价于代表截面）在该点的取值 $\Phi(x)$ 的局部坐标表示 $\Phi^a(x)$
- $y^a_{\, i}$ 代表等价类内所有截面（等价于代表截面）在该点的导数 $\text{d}\Phi (x)$ 的局部坐标表示 $(\text{d}\Phi)^a_{\, i}$ （也就是该截面作为流形间映射 $\Phi: X\to Y$ 的 切映射 $\text{d}\Phi: TX \to TY$ 在该点的取值；若将 $\Phi$ 的坐局部坐标表示 $\Phi^a$ 视为坐标变换，则 $y^a_{\, i}$ 就是坐标变换的雅各比矩阵在该点的取值）
Step 4：该等价关系定义的商空间 $J^1_x := \mathcal{S}_x/ \sim ^i_x$，称为该点的“一阶 jet 空间”
Step 5：商空间 $J^1_x$ 的不交并 $J^1$ ，称为“一阶 Jet 丛”，其上的纤维即 $J^1_x$
二、一阶 jet
I. 一阶 jet $j^1_x(s)$ ：是以截面 $s$ 为代表元的，由等价关系 $\sim_x^1$ 定义的等价类
设 $\pi: Y \to X$ 是一个光滑纤维丛，$x \in X$ 是一个固定点。
考虑所有在某个开邻域 $U \subset X$ 上定义的截面 $s: U \to Y$，我们希望定义它们在点 $x$ 的“一阶 jet”
我们定义如下等价关系：
设 $s_1, s_2: U \to Y$ 是两个截面，若满足：
- $s_1(x) = s_2(x)$；
- 对于任意局部坐标系统 $(x^i, y^a)$，有
$$
\left. \frac{\partial (y^a \circ s_1)}{\partial x^i} \right|_x
=
\left. \frac{\partial (y^a \circ s_2)}{\partial x^i} \right|_x
$$
则称 $s_1$ 与 $s_2$ 在 $x$ 处一阶等价，记作 $s_1 \sim^1_x s_2$
定义：
截面 $s$ 在 $x$ 处的一阶 jet，记作 $j^1_x s$，是 $s$ 在 $x$ 处的一阶等价类：$$j^1_x s := [s]_x^1 := { \tilde{s} \mid \tilde{s} \sim^1_x s }$$
II. 一阶等价关系 $\sim^1_x$ ：坐标无关定义
设 $\pi: Y \to X$ 是一个光滑纤维丛，$x \in X$。
我们考虑所有在某邻域 $U \ni x$ 上定义的截面 $s: U \to Y$，也就是满足 $\pi \circ s = \mathrm{id}_U$ 的光滑映射 $s$。
由于 $s$ 是一个从 $X$ 到 $Y$ 的光滑映射，我们可以考虑其在 $x$ 点的切映射：$$\text{d}s|x: T_xX \to T{s(x)}Y$$并要求该映射满足切映射的定义性质：$$\text{d}s|_x(v)[h]=v[h\circ s]$$
在该语境下可以给出 两个截面在某点一阶等价 定义的另一种表述如下：
对于两个在 $x$ 附近定义的截面 $s_1, s_2: U \to Y$，若满足
- $s_1(x) = s_2(x)$；
- 它们诱导的切映射在该点相等，即：$$ds_1|x = ds_2|_x : T_xX \to T{s(x)}Y$$
则称 $s_1$ 与 $s_2$ 在 $x$ 点一阶等价，记作：
$$
s_1 \sim^1_x s_2
$$
此定义自然导出一阶 jet：
$$j^1_x s := \text{等价类 } [s]_x^1 = { \tilde{s} \mid \tilde{s} \sim^1_x s }$$
三、一阶 Jet 空间 $J^1_xY$
$x\in X$ 处的一阶 jet 空间 $J^1_x Y$
设 $\pi: Y \to X$ 是一个光滑纤维丛。
我们定义在每个点 $x \in X$ 上的一阶 jet 空间为：
$$
J^1_x Y := \left{ j^1_x s \mid s \text{ 是在 } x \text{ 的邻域内定义的局部截面} \right}
$$
可以认为该空间是
$J^1_xY$ 是局部截面在点 $x$ 的一阶等价关系 $\sim^1_x$ 下的商空间 $J^1_x J =\mathcal{S}_x/\sim ^1_x$
设 $\pi: Y \to X$ 是一个光滑纤维丛，$x \in X$。
记：
- $\Gamma_x := \left{ s \in \Gamma(U, Y) \mid x \in U \right}$ 为所有在 $x$ 点邻域中定义的局部截面；
- 在 $\Gamma_x$ 上定义一阶等价关系 $\sim^1_x$，即：
$$
s_1 \sim^1_x s_2 \iff \left( s_1(x) = s_2(x) \text{ 且 } ds_1|_x = ds_2|_x \right)
$$
则我们定义一阶 jet 空间为商集：
$$
J^1_xY := \Gamma_x / \sim^1_x
$$
即，$J^1_xY$ 是所有局部截面在 $x$ 点的一阶等价类空间。
一阶 Jet 丛就是一阶 Jet 空间 $J^1_x Y$ 的不交并
进一步地，整条一阶 Jet 丛是商空间族的并：
$$
J^1Y := \bigsqcup_{x \in X} \Gamma_x / \sim^1_x
$$
四、 一阶 Jet 丛 $J^1 Y$
I. 一阶 Jet 丛 $J^1 Y$ ：定义
设 $\pi: Y \to X$ 是一个光滑纤维丛。
我们定义一阶 Jet 丛 $J^1Y$ 为：
$$
J^1Y := \bigsqcup_{x \in X} J^1_xY
$$
其中 $J^1_xY$ 是所有在点 $x$ 处局部截面的等价类（即一阶 jets）组成的集合。
这个集合带有两个自然投影：
- 到总空间的投影：$$\pi_{1,0}: J^1Y \to Y,\quad j^1_x s \mapsto s(x)$$它记录了 jet 的值。
- 到底空间的投影：$$\pi_1: J^1Y \to X,\quad j^1_x s \mapsto x$$它记录了 jet 的基点。
II. $J^1 Y$ 上的两个自然投影
设 $\pi: Y \to X$ 是一个光滑纤维丛。我们定义了一阶 Jet 丛为：
$$
J^1Y := \bigsqcup_{x \in X} J^1_xY
$$
其中 $J^1_xY$ 是点 $x$ 处所有局部截面 $s$ 的一阶等价类 $j^1_x s$ 构成的集合（称为 $x$ 上的一阶jet空间）。
这个丛上有两个自然的投影映射：
（1）到总空间的投影 $\pi_{1,0}$（target projection）（是仿射丛投影）
可以构造这样的投影，它将 $J^1Y$ 上的每个点（也就是一个一阶jet $j^1_x(s)$，也就是某点 $x$ 上的一个截面等价类）投影到定义该等价类时用到的“截面在该点的函数值 $s(x)\in Y$”（回顾：定义该等价类用到了截面在该点的函数值和导数值）。下面是该投影的严格定义
定义：$$\pi_{1,0}: J^1Y \to Y, \quad j^1_x s \mapsto s(x)$$
- 它保留了一阶 jet 的“函数值”；
- 即把 jet 映射回它所来自的截面在 $x$ 处的像；
- $\pi_{1,0}$ 并不是纤维丛投影，但它是一个光滑映射；
- 它覆盖了底空间上的 $\pi$，即有：$$\pi \circ \pi_{1,0} = \pi_1$$
（2）到底空间的投影 $\pi_1$（base projection）构成纤维丛投影
定义：$$\pi_1: J^1Y \to X, \quad j^1_x s \mapsto x$$
- 它保留了一阶 jet 的基点；
- $\pi_1$ 是一个光滑的子流形间的投影映射；
- $J^1Y$ 在 $\pi_1$ 下成为 $X$ 上的一个光滑纤维丛；
- 每根纤维为一个一阶 Jet 空间 $J^1_x Y$：
$$
J^1_xY := \pi_1^{-1}(x)
$$
该投影使空间 $J^1 Y$ 真正构成一个 纤维丛， 称为 一阶Jet丛，该丛的底空间就是原丛的底空间 $X$，且 每条纤维 就是一个 一阶 Jet 空间 $J^1_x Y:= {j^1_x(s)}$
III. $J^1Y$ “丛上的”局部坐标
为了使 $J^1Y$ 成为光滑流形，并成为 $X$ （或 $Y$ ） 上的一个光滑丛，我们定义其局部坐标如下：
设 $(x^i)$ 是 $X$ 上的局部坐标，$(x^i, y^a)$ 是 $Y$ 上从属局部坐标系统。则一阶 Jet 元素 $j^1_x s$ 可由如下数据表示：$$\left(x^i, y^a, y^a_{\,i} \right)
\quad \text{其中 } y^a_{\,i} := \left. \frac{\partial y^a \circ s}{\partial x^i} \right|_x$$其中：
- $x^i$ 表示 $j^1_x(s)$ 所处的底空间点 $x$ 的局部坐标
- $y^a$ 表示 $j^1_x(s)$ 的代表元 $s$ 在该点的取值 $s(x) \in Y$ 的局部坐标
- $y^a_{\, i}$ 表示 $j^1_x(s)$ 的代表元 $s$ 在该点的切映射 $\text{d}s$ 的局部坐标表示，即雅可比矩阵 $\frac{\partial s^a}{\partial x^i}$ 在该点 $x$ 的取值
于是：
$J^1Y$ 作为光滑流形的局部坐标为 $(x^i, y^a, y^a_i)$，并构成从 $J^1Y$ 到 $X$ 的一个光滑纤维丛：$$\pi_1: J^1Y \to X$$
IV. $J^1Y$ 上的点
将上述局部坐标表述抽象化：
一阶 Jet 丛上的一个点可以表述为 $(x, s(x), \mathrm{d}s(x))$，这种表述具有很好的几何和物理直观
即，一阶 Jet 丛 $J^1Y$ 上的一个点是一个一阶 jet $j^1_x(s)$ ，它包含以下三层信息：
- $x$：底空间 $X$ 中的点；
- $s(x)$：截面 $s$ 在点 $x \in X$ 处的值，表示 $s$ 对应的“位置数据”
- $\mathrm{d}s(x)$：截面 $s$ 在点 $x \in X$ 处的导数信息，表示截面在该点的切向量
五、 $J^1Y$ 的丛结构
- $\pi_1: J^1Y \to X$ 是一个纤维丛，其纤维 $(\pi_1)^{-1}(x)$ 是所有可能的一阶 jet 数据。$$\pi_a:(x,s(x),\text{d}s(x))\mapsto x\in X$$
- $\pi_{1,0}: J^1Y \to Y$ 是一个 仿射丛（affine bundle）：$$\pi_{1,0}: (x,s(x),\text{d}s(x))\mapsto s(x)$$在给定 $y = \Phi(x)$ 后，不同的一阶导数形成一个以 $\mathrm{Hom}(T_xX, V_yY)$ 为模型空间的仿射空间
如果你的目标是构造动力系统或描述截面空间结构（比如在 PDE 理论中），$\pi_1$ 很重要；
但 在拉格朗日力学、变分结构和场论中，$\pi_{1,0}: J^1Y \to Y$ 是核心丛结构，因为它支持“固定值点 $y$、变化导数”的分析方式，因此我们在下一届详细讲解丛 $\pi_{1,0}: J^1 Y \to Y$
六、$\pi_{1,0}:J^1Y \to Y$ 是仿射丛
I. 每个点上的纤维都是仿射空间
（1）放射丛投影 $\pi: J^1Y \to Y,\quad j^1_x(s)\to s(x)$
（2）确定纤维结构
对于任意 $y_0 \in Y$，其在 $J^1Y$ 中的纤维为：
$$E_{y_0} := \left{ j^1_x(s) \mid s(\pi(y_0)) = y_0 \right}$$
即所有满足 $s(x) = y_0$ 且 $x = \pi(y_0)$ 的一阶 Jet 组成的集合。我们可以将其理解为：
$$E_{y_0} = \left{ j^1_x(s) = \left( x, y_0, \text{d}s|_x \right) \right}$$
其中 $x = \pi(y_0)$，而 $s$ 是在 $x$ 的邻域内光滑定义的局部截面。该集合中：
- 所有 Jet 元素的取值点 $x$ 与其值 $y_0$ 已被固定；
- 唯一自由的部分是导数 $\text{d}s|_x$，即 Jet 的导数信息。
（2‘）换言之，对于一条纤维上的元素（一阶 jet 们），元素的自由度体现在 jet 的代表截面 $s$ 在该点 $\pi(y_0)$ 的切映射的值 $\text{d}s|_{\pi(y_0)}$
（3）证明纤维 $E_{y_0} = {j^1_x(s) = (\pi(y_0),y_0,\text{whatever})}$ 是仿射空间，即证明它放射同构于一个模型空间（向量空间）
定义模型空间
我们选择以下向量空间作为模型空间：
$$V := \mathrm{Hom}(T_xX, V_{y_0}Y)$$
其中：
- $x = \pi(y_0)$；
- $V_{y_0}Y$ 是纤维丛投影 $\pi: Y \to X$ 在 $y_0$ 处的垂直子空间（即 $\ker(\text{d}\pi_{y_0})$）；
- $T_xX$ 是底空间 $X$ 上点 $x$ 的切空间。
（4）证明纤维是仿射空间，即证明存在仿射同构 $f$ 使纤维仿射同构于一个向量空间
定义一个映射：
$$\boxed{f: E_{y_0} \to V,\quad j^1_x(s) \mapsto \text{d}s|_x^{\text{vert}}}$$
即将 Jet 元素映射到其代表截面 $s$ 的切映射 $\text{d}s|_x$ 在垂直子空间中的投影部分。注意此处：
- $\text{d}s|x: T_xX \to T{y_0}Y$ 是一个线性映射；
- 但由于 $s(x) = y_0$ 被固定，$\text{d}s|_x$ 在投影方向 $\text{d}\pi$ 上的变化被约束；
- 因此我们只考虑其在 $\ker(\text{d}\pi_{y_0}) = V_{y_0}Y$ 上的分量，记作 $\text{d}s|_x^{\text{vert}}$。
该映射 $f$ 是仿射映射，其模型线性映射是：
$$j^1_x(s_2) – j^1_x(s_1) \mapsto \text{d}s_2|x^{\text{vert}} – \text{d}s_1|_x^{\text{vert}}\in V{y_0}Y$$
（4’）选择映射 $f: E_{y_0} \to V,\quad j^1_x(s) \mapsto \text{d}s|_x^{\text{vert}}$ 作为仿射同构的原因
一方面当然是因为我们对模型空间的选择$$V := \mathrm{Hom}(T_xX, V_{y_0}Y)$$但话说回来我们选择该空间作为模型空间的动机呢？在此我们作简要解释
设 $s: X \to Y$ 是一个截面，满足：
$$\pi \circ s = \text{id}X$$ 对该等式取切映射，有： $$\text{d}(\pi \circ s)_x = \text{d}\pi{s(x)} \circ \text{d}s_x = \text{id}{T_xX}$$ 即： $$\boxed{\text{d}\pi{s(x)} \circ \text{d}s_x = \text{id}}$$
这说明：
- $\text{d}s_x$ 是 $\text{d}\pi$ 的一个右逆（right inverse）；
- 因此，$\text{d}s_x$ 的像不能随意落在 $T_{y_0}Y$ 的任意方向，而是必须与 $\text{d}\pi$ 组合成恒等映射；
- 也就是说，$\text{d}s_x$ 的像必须分解为：$$\text{d}s_x =
\underbrace{\text{d}s_x^{\parallel}}{\text{被 } \text{d}\pi \text{控制}} + \underbrace{\text{d}s_x^{\perp}}{\text{自由部分}}$$其中：
- $\text{d}s_x^{\parallel}$ 是 $\text{d}\pi$ 的某种截面（右逆），是由截面结构决定的，不是自由参数；
- $\text{d}s_x^{\perp}$ 是落在 $\ker(\text{d}\pi_{y_0}) = V_{y_0}Y$ 中的分量，是 Jet 中可独立变化的部分。
（4‘’）如果该构造的动机仍不够清晰，回顾截面的切映射的坐标表示（考虑截面切映射作用于坐标基向量）
引用 切映射 $\text{d}\Phi|x$ 作用于 $X$ 的局部坐标基向量 ${\partial_i}$ 的效果 的结论，即：$$\boxed{\text{d}\Phi_x(\partial_i) = \partial_i [\Phi^a] \partial_a}$$在该式中，若 $\Phi:X\to Y$ 是一个截面，则等式右边$$\frac{\partial \Phi^a}{\partial x^i}\cdot \frac{\partial}{\partial y^a}=\frac{\partial \Phi^j}{\partial x^i}\cdot \frac{\partial}{\partial x^j}+\frac{\partial \Phi^{\mu}}{\partial x^i}\cdot \frac{\partial}{\partial y^\mu}=\partial_i +\frac{\partial\Phi^\mu}{\partial x^i}\cdot \partial\mu$$它的含义是：
- 第一项 $\partial_i$：表示在 $Y$ 中沿着 $x^i$ 的方向前进；
- 第二项 $\frac{\partial \Phi^\mu}{\partial x^i} \cdot \partial_\mu$：表示前进时会附带地沿着纤维方向“上浮”或“下沉”。
我们发现 只有第二部分包含关于 $\Phi$ 的信息，换言之，$\text{d}\Phi$ 中沿 $\partial/\partial x^i$ 部分的内容不带有截面的信息，只有沿 $\partial/\partial y^{\mu}$ 部分包含关于截面的信息
（5）证明该映射是仿射同构
我们需验证以下三点：
- $f$ 是良定义的，即对每个 Jet 元素，其对应的 $\text{d}s|_x^{\text{vert}}$ 存在并唯一；
- $f$ 是满射：任意一个 $\varphi \in \mathrm{Hom}(T_xX, V_{y_0}Y)$ 都可以构造一个截面 $s$，使得 $s(x) = y_0$ 且 $\text{d}s|_x^{\text{vert}} = \varphi$；
- $f$ 是仿射结构保形的，即 $E_{y_0}$ 上两个 Jet 元素的差 $j^1_x(s_2) – j^1_x(s_1)$ 被 $f$ 映射为导数之差。
由此，$E_{y_0}$ 与 $\mathrm{Hom}(T_xX, V_{y_0}Y)$ 仿射同构，构成仿射空间。
II. $J^1Y$ 的模型丛
七、Jet 延拓 $j^1\Phi: X \to J^1Y$
给定截面 $\phi: X \to Y$，我们可以将它提升到一阶 Jet 丛：
定义（Jet 延拓）$$j^1\phi: X \to J^1Y,\qquad x \mapsto j_x^1\phi.$$
在坐标中：$$j^1\phi(x) = \big(x^\mu,\, y^a(x),\, \partial_\mu y^a(x)\big).$$
这就是把“轨迹 + 一阶导数”打包成一个新的丛截面。
八、物理示例
我们继续使用粒子在平面中运动的例子。
- 时间底空间：$X = \mathbb{R}$，坐标 $t$；
- 构型空间：$Q = \mathbb{R}^2$，坐标 $(x, y)$；
- 构型丛：$Y = \mathbb{R} \times \mathbb{R}^2$，坐标 $(t, x, y)$；
- 截面：$\phi(t) = (t, x(t), y(t))$。
则：
- 一阶 Jet 丛坐标：$(t, x, y, x_t, y_t)$（这里 \$x_t = \frac{dx}{dt}\$ 等）；
- Jet 延拓： $$
j^1\phi(t) = \big(t, x(t), y(t), \dot{x}(t), \dot{y}(t)\big).
$$
拉格朗日函数就定义在这一空间上：
$$
L: J^1Y \to \mathbb{R},\qquad
L(t, x, y, x_t, y_t) = \tfrac{1}{2} m (x_t^2 + y_t^2) – V(x,y).
$$
总结
| 项目 | 内容 |
|---|
| 一阶 jet | 截面在点处值与一阶导数的等价类 |
| $J^1Y$ | 所有 1-jet 的集合，带自然流形结构 |
| 投影 | $\pi_1: J^1Y \to X$，$\pi_{1,0}: J^1Y \to Y$ |
| 仿射结构 | $J^1Y \to Y$ 是仿射丛，模型空间 $\mathrm{Hom}(T_xX, V_yY)$ |
| 局部坐标 | $(x^\mu, y^a, y^a_\mu)$ |
| Jet 延拓 | $j^1\phi(x) = (x^\mu, y^a(x), \partial_\mu y^a(x))$ |
| 力学应用 | $L$ 定义在 $J^1Y$ 上；轨迹提升用于变分 |
