这是导数结构中的第一项，拉格朗日力学中所有“速度”“变分方向”“导数信息”的基础，都是从切丛开始构建的。

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一、严格数学定义：切丛 $TY$

定义（切丛 / Tangent Bundle）
设 $Y$ 是一个 $n$-维光滑流形。其切丛 $TY$ 是一个新的 $2n$-维光滑流形，定义为：$$TY := \bigsqcup_{y \in Y} T_y Y$$即：所有点 $y \in Y$ 上的切空间 $T_y Y$ 的不交并。

并且有自然投影：$$\pi_Y: TY \to Y,\quad v \in T_y Y \mapsto y$$每个点 $y \in Y$ 上的纤维 $\pi_Y^{-1}(y) \cong T_y Y$ 是一个向量空间。

因此，$TY$ 是一个以 $Y$ 为基底的向量丛（vector bundle）。

前置：向量丛（Vector Bundle）

正式定义

定义（向量丛）
设 $E, B$ 是光滑流形，记映射 $\pi: E \to B$。
若满足：

1. 每个点上方的纤维是向量空间：对每个 $b \in B$，纤维 $E_b := \pi^{-1}(b)$ 是一个有限维实向量空间（通常是 $\mathbb{R}^n$）；
2. 局部平凡性（local triviality）：存在一组开集 ${ U_\alpha }$ 覆盖 $B$，以及微分同胚：$$\varphi_\alpha: \pi^{-1}(U_\alpha) \xrightarrow{\sim} U_\alpha \times \mathbb{R}^n$$使得如下图交换：$$\begin{array}{ccc}
   \pi^{-1}(U_\alpha) & \xrightarrow{\varphi_\alpha} & U_\alpha \times \mathbb{R}^n \
   \quad \pi \downarrow\quad & & \quad\downarrow \mathrm{proj}1 \ U\alpha & = & U_\alpha
   \end{array}$$ 并且：
   1. 每个纤维 $\pi^{-1}(b)$ 被映射为 ${b} \times \mathbb{R}^n$ 上的线性空间；
   2. 每个 $\varphi_\alpha$ 在纤维方向是线性同构（即可逆 且 保向量加法和数乘运算）。

则称 $\pi: E \to B$ 是一个秩为 $n$ 的向量丛，总空间 $E$，基底 $B$

直观解释

向量丛可以想象为：

在每个基底点上，挂一个向量空间，但允许这些向量空间的拼接方式在全局上发生“扭曲”。

一个“向量丛”就是这样的结构拼起来的总空间
为了满足每个局部都“看起来像直积空间 $U_i \times \mathbb{R}^n$”需要满足两个条件：

1. 局部平凡化是微分同胚
2. 局部平凡化在纤维方向上是线性同构

向量丛是带有线性结构的特殊纤维丛。

性质	纤维丛	向量丛
纤维结构	任意拓扑空间	向量空间
局部结构	$U_\alpha \times F$	$U_\alpha \times \mathbb{R}^n$，且线性
过渡函数取值于	$\operatorname{Homeo}(F)$	$\operatorname{GL}(n,\mathbb{R})$
应用	各类“场”的几何抽象	向量场、切丛、张量丛、规范场

向量丛上的典型操作

1. 截面（section）：映射 $s: B \to E$，满足 $\pi \circ s = \mathrm{id}_B$
   代表“每个点上选一个向量” → 即向量场。
2. 切丛 $TM$ 是向量丛：
   每个点 $p \in M$ 的切空间 $T_p M$ 是一个向量空间，拼起来就是 $TM$。
3. 余切丛 $T^*M$：张量丛、形式丛等也是向量丛。

项目	内容
对象	向量丛 $\pi: E \to B$，每纤维为向量空间
核心性质	局部平凡性 + 线性结构
局部结构	$\pi^{-1}(U) \cong U \times \mathbb{R}^n$
示例	切丛、余切丛、张量丛
用途	描述“向量场”“速度”“扰动方向”“规范场”等结构

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切丛作为向量丛

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二、局部坐标表示

设切丛 $TY$ 上的一点 $e\in TY$ 且 $\pi(e) =y \in U_i$
则 $e$ 通过局部平凡化映射 $\varphi_i$ 被映射到 $(y,\dot{y}) \in \mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^n$ ，对应的坐标表示为：$$y^{} = \phi_i (y),\quad \dot{y}^j =\langle \dot{y},\left.\frac{\partial}{\partial y^j}\right|_{y}\rangle$$

换言之：$$\boxed{
\begin{aligned}
\varphi_i: \pi^{-1}(U_i) &\longrightarrow \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \
e \in T_y Y &\longmapsto \left( \phi_i(y),\ \dot{y}^j = \left\langle e,\left.\frac{\partial}{\partial y^j}\right|_{y} \right\rangle \right)
\end{aligned}
}$$

或者：$$\boxed{
\text{pr}_1 \circ \varphi_i = \phi_i \circ \pi, \qquad
\text{pr}_2 \circ \varphi_i (e) = \left( \left\langle e, \left. \frac{\partial}{\partial y^1} \right|_y \right\rangle, \dots, \left\langle e, \left. \frac{\partial}{\partial y^n} \right|_y \right\rangle \right)
}$$

其中：

• $\text{pr}_1: \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ 是第一分量投影；
• $\text{pr}_2: \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ 是第二分量投影；
• $\left{ \left. \frac{\partial}{\partial y^j} \right|_y \right}$ 是由局部坐标诱导的切空间基；
• $\langle \cdot, \cdot \rangle$ 是在 $TY$ 的点上定义的“坐标展开内积”，或者说表示该向量在该基底下的坐标分量。

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三、几何直观

你可以把 $TY$ 想象为在每个点 $y \in Y$ 上“插了一根箭头”的空间：

• 每个点 $y$ 上附着一个切空间 $T_y Y$；
• 所有这些拼接在一起，形成总空间 $TY$；
• 它是一个 $2n$-维光滑流形。

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四、在拉格朗日力学中的作用

在拉格朗日力学中，轨迹是 $\phi: X \to Y$ 的一个截面。

• 其微分 $d\phi: TX \to TY$ 把“时间上的变化”映射到“状态上的变化”；
• 它的像 $d\phi(t) \in T_{\phi(t)} Y$ 就是系统在 $t$ 时刻的切向量；
• 这包含了“速度”“运动方向”的信息。

例如：

粒子轨迹 $\phi(t) = (t, x(t), y(t)) \in Y$
其速度向量为：$$d\phi(t) = \left(\frac{d}{dt} x(t), \frac{d}{dt} y(t) \right) \in T_{\phi(t)} Y$$

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五、拉格朗日函数是切丛上的函数

拉格朗日函数的本质是定义在“位置 + 速度”上，因此：

拉格朗日函数是定义在切丛上的函数：$$ L: TY \to \mathbb{R}$$

它告诉我们：系统在某个状态 $y \in Y$ 及其速度方向 $v \in T_y Y$ 下的“能量代价”或“动作密度”。

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六、物理例子（自由质点）

自由质点在平面中运动，$Y = \mathbb{R} \times \mathbb{R}^2$，坐标为 $(t, x, y)$。

• 切丛 \$TY\$ 的坐标为 $(t, x, y; \dot{t}, \dot{x}, \dot{y})$；
• 对于轨迹 $\phi(t) = (t, x(t), y(t))$，其导数为：$$d\phi(t) = \left(1, \frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt} \right)
  \in T_{\phi(t)} Y$$
• 拉格朗日函数 $L$ 定义为：$$L(t, x, y; \dot{x}, \dot{y}) = \frac{1}{2}m (\dot{x}^2 + \dot{y}^2)$$
  注意我们常常约定 $\dot{t} = 1$，所以 $t$ 本身不是动力学自由度。

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小结

项目	内容
定义	$TY := \bigsqcup_{y \in Y} T_y Y$ 是切空间的总丛
投影	$\pi_Y: TY \to Y$
坐标	$(y^i, v^i)$
几何意义	每点附有一个方向，形成“速度空间”

一、丛映射

I. 丛映射：定义

设 $\pi_E: E \to B$、$\pi_{E’}: E’ \to B’$ 是两个光滑纤维丛。
若存在两个光滑映射：

• $\Psi: E \to E’$（作用在总空间）
• $\psi: B \to B’$（作用在底空间）

满足如下交换图：$$\begin{array}{ccc}
E & \xrightarrow{\Psi} & E’ \
\pi_E \downarrow & & \downarrow \pi_{E’} \
B & \xrightarrow{\psi} & B’
\end{array}
\quad \text{即满足} \quad \pi_{E’} \circ \Psi = \psi \circ \pi_E$$则称 $\Psi$ 是从 $E \to B$ 到 $E’ \to B’$ 的一个 丛映射，记作：$$(\Psi, \psi): E \to E’
\quad \text{or simply } \Psi: E \to E’ \text{ over } \psi$$

核心要求：$\pi_{e’} \circ \Psi = \psi \circ \pi_E$ （丛映射后的投影等于投影后的底映射）

记号：$\psi:B\to B’$ 是底空间的映射，$\Psi:E\to E’$ 是总空间的映射，习惯上称 $\Psi$ 为 “$\psi$ 上方的丛映射”

丛映射 $\Psi$ 把每个纤维中的点 $e\in E_b$ 送到对应底点 $b$ 映射后所在的纤维 $E’_{\psi(b)}$ 中。 它确保总空间的变化与底空间的映射兼容，像是纤维在“随底滑动”

II. 丛映射：性质

若 $\Psi: E \to E’$ 是一个 over $\psi$ 的丛映射，则：

（1）纤维之间相互映射：$\Psi (E_b) \subset E’_{\psi(b)}$

1. 纤维之间相互映射：
   对于任意 $b \in B$，我们有：$$\Psi(E_b) \subset E’{\psi(b)}$$即：每个点上纤维 $E_b = \pi_E^{-1}(b)$，会被 $\Psi$ 映射进 $E’{\psi(b)} = \pi_{E’}^{-1}(\psi(b))$。

（2）若 $\psi=\text{id}_b$，则定义在 $E$ 上的截面可以被推送到 $E’$ 上

1. 截面可以“推送”：
   若 $s: B \to E$ 是 $E$ 上的一个截面（即 $\pi_E \circ s = \mathrm{id}_B$），则：$$\Psi \circ s: B \to E’
   \quad \text{是 over } \psi \text{ 的一个截面候选}$$但一般不是截面，除非 $\psi = \mathrm{id}_B$。

III. 向量丛映射：丛映射的特殊情况

若 $\psi$ 是微分同胚，且每纤维 $\Psi_b: E_b \to E’_{\psi(b)}$ 是线性映射，则 $\Psi$ 是向量丛映射。

这在向量丛或切丛之间很常见（例如 $\text{d}\Phi: TX \to TY$）。

（1）底空间间的映射 $\psi: B\to B’$ 是微分同胚（即双射且正反函数均光滑）

（2）$\Psi$ 对于限制在每条纤维时的情况 $\Psi_b :E_b\to E’_{\psi(b)}$ ，要求该映射是线性映射

向量丛映射（直观）：向量丛映射是一个“跟着底空间变化、纤维上又保持线性结构”的映射

二、切映射：定义

I. 前置：函数的拉回

函数的拉回（定义）：$\Phi^* f:=f\circ \Phi$

设：

• $\Phi: X \to Y$ 是光滑流形之间的光滑映射；
• $f \in C^\infty(Y)$ 是 $Y$ 上的光滑函数。

则函数 $f\in Y$ 关于 $\Phi:X\to Y$ 的拉回（pullback）定义为：
$$\boxed{
\Phi^* f := f \circ \Phi \in C^\infty(X)
}$$

也就是说：

• 把 $Y$ 上的函数 $f$ 通过 $\Phi$ 拉回到 $X$ 上；
• 得到的复合函数 $f \circ \Phi$ 仍然是 $X$ 上的光滑函数。

这是最基础的拉回操作，常称为：

$\phi^* : C^\infty(Y) \to C^\infty(X)$ 是函数环之间的代数同态。

函数的拉回（直观）：函数 $f:Y\to \mathbb{R}$ 关于 $\Phi: X\to Y$ 的拉回 $\Phi^* f$ 就是“绕着映射 $\Phi$ 先走再根据 $f$ 取值”

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II. 切映射 $\text{d}\Phi$：构造动机

给定两个流形 $X$ 和 $Y$，以及一个光滑映射 $\Phi: X \to Y$，
如何理解 $\Phi$ 在微分结构上的作用？
换句话说，如何让 $\Phi$ （诱导一个新映射）把 $X$ 上的“方向信息”传递到 $Y$”？

（1）动机来源：方向导数的传递

对于定义在 $Y$ 上的任意光滑函数 $f:Y \to \mathbb{R}$，它在某点 $y$ 上的“方向信息”就是 $T_y Y$ 上的各种切向量作用在该函数上的效果的信息；
同时我们知道，流形间的映射 $\Phi$ ，对于每一个光滑映射 $f\in C^{\infty}(Y)$ 都自然地诱导了一个拉回映射 $\Phi^f= f\circ \Phi$： $$f \circ \Phi: X \to \mathbb{R}$$称为 $f$ 关于 $\Phi$ 的拉回映射，且 $\Phi^ f \in C^{\infty}(X)$；
同理可知该函数在某点 $x$ 上的所谓“方向信息”就是 $T_x X$ 上的各种切向量作用于该函数的效果

我们希望作的是，能否通过 $\Phi: X\to Y$ 诱导一个函数 $\text{d}\Phi: TX \to TY$，将任意 $v\in T_x X$ 被映射到这样一个向量（记作 $\text{d}\Phi|_x(v)$）：

它应该能作用在 $f$，并得到与 $v$ 作用在 $f \circ \Phi$ 一致的结果，即：$$\boxed{
(d\Phi|_x(v))[f] := v[f \circ \Phi]
}$$

这就定义了一个 $T_{\Phi(x)} Y$ 上的切向量

（2）换句话说：给出流形间（点间）的映射 $\Phi$，我们希望由它构造空间上“方向导数”（即切空间中的切向量）之间的映射，使满足切向量的映射 $\text{d}\Phi|_x (v)$ 作用于 $f\in C^{\infty}(Y)$ 等于切向量 $v\in T_xX$ 作用于函数的拉回 $\Phi^* f$

$\Phi$ 把 $x \in X$ 映到 $y = \Phi(x) \in Y$，
那么 $x$ 处的“方向” $v \in T_x X$ 应该被送到 $y$ 处的“方向” $(d\Phi|_x)(v) \in T_y Y$，
使得它“看”任何函数 $f: Y \to \mathbb{R}$ 的方式就是原来的 $v$ 看 $f \circ \Phi$ 的方式。

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切映射：定义

回顾：构造切映射的核心

$$
\boxed{
(d\Phi|_x(v))[f] := v[f \circ \Phi] \quad \text{for all } f \in C^\infty(Y)
}
$$

这个定义自然满足：

• $(d\Phi|x): T_x X \to T{\Phi(x)} Y$ 是线性映射；
• 拼在一起得到一个总映射 $d\Phi: TX \to TY$，称为 $\Phi$ 的切映射。

切映射：正式定义

设 $\Phi: X \to Y$ 是光滑映射，则其微分 $\text{d}\Phi: TX \to TY$ 是一个 丛映射，满足：
$$\boxed{
\begin{aligned}
&\text{(1) } \pi_Y \circ \text{d}\Phi = \Phi \circ \pi_X \quad \text{(丛映射条件)} \
&\text{(2) } \text{对每个 } x \in X,\quad \text{d}\Phi|x : T_xX \to T{\phi(x)}Y \text{ 是线性映射}
\end{aligned}
}$$
条件（2）更具操作性的等价表述：$$\boxed{(2) \text{ 对每个 $h\in C^\infty(Y), v\in T_xX$,}\quad v[h\circ \Phi]=(\text{d}\Phi|_x (v))[h]}$$

（1）切映射是切丛间的丛映射

##### （2）切映射是线性映射 = 切映射满足 $v[h\circ \Phi]=(\text{d}\Phi|_x(v))[h]$

三、切映射：局部坐标表示

后文中我们尽量采用如下符号体系：

• 若光滑映射 $\Phi: X \to Y$，则
  • 将映射定义域 $X$ 上点的局部坐标记为 $x^i$
  • 将映射像空间 $Y$ 上点的局部坐标记为 $x^a$
  • 将光滑映射的坐标表示记为 $\Phi^a, \Phi(x^i)^a=y^a$
• 若 $\pi: Y \to X$ 是纤维丛，则
  • 将底空间 $X$ 上的点的局部坐标记为 $x^i$
  • 将全空间 $Y$ 上的点的局部坐标记为 $y^a = (x^i;y^{\mu})$，其中
    • 将点在纤维 $Y_x$ 上的局部坐标记为 $y^\mu$

I. 切映射的局部坐标表示：问题设定

• 设 $\Phi: X \to Y$ 是光滑流形之间的光滑映射；
• $x \in X$，$\Phi(x) \in Y$；
• ${x^i}$ 是 $X$ 的局部坐标，维数为 $n$；
• ${y^a}$ 是 $Y$ 的局部坐标，维数为 $m$；
• $v \in T_xX$，其坐标表达为 $v = v^i \left. \frac{\partial}{\partial x^i} \right|_x$

注意，这里我们直接将 底空间上的局部坐标图 写作分量形式 ${x^i}$ 其中 $x^i: X\to \mathbb{R}, i=1,2,…,n$；$Y$ 以此类推；这么做的好处是在具体计算中带来记号上的便利

我们要求切映射满足 定义性质：$$(d\Phi(v))[h] := v[h \circ \Phi], \quad \forall h \in C^\infty(Y)$$

我们想要明确求出 $\text{d}\Phi : TX \to TY$ 的明确坐标表示，等效于求它在每条纤维上的行为 $\text{d}\Phi|x: T_xX\to T{\Phi(x)}Y$ 的坐标表示，也就是求对于任意切向量 $v\in T_xX$ ：$$\text{d}\Phi(v) \in T_{\Phi(x)} Y \quad \text{在坐标基下的表示}.$$也就是求 $\text{d}\Phi|x$ 如何将 $v\in T_xX$ 映到 $w^a\left.\frac{\partial}{\partial y^a}\right|{\Phi(x)}$
因此，所谓求切映射的局部坐标表示，就是想将切映射写作：$$\text{d}\Phi|x(v) = (\text{d}\Phi|_x)^a(v)\left.\frac{\partial}{\partial y^a}\right|{\Phi(x)}$$

同时由于我们知道 切映射是线性映射 ，我们可以预想到：$$\text{d}\Phi|x(v) = (\text{d}\Phi|_x)^a{\, i} v^i\left.\frac{\partial}{\partial y^a}\right|_{\Phi(x)}$$
另外，在求切映射的局部坐标表示时，出于方便考虑，常将 $\text{d}\Phi|_x$ 直接写作 $\text{d}\Phi_x$ 甚至 $\text{d}\Phi$

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II. 求解

为求上式中的 $\text{d}\Phi^a$ 或 $\text{d}\Phi^a_{\, i}$ ，只需在在定义性质 $v[f\circ \Phi]=\text{d}\Phi|_x(v)[f]$ 中代入 $f:=y^b$ 即可

RHS：$\text{d}\Phi ^a(v)$

LHS：$v^i \frac{\partial}{\partial x^i} [\Phi^a(x)]$

由于 $y^j$ 是 $Y$ 的局部坐标，$\Phi: X \to Y$，所以：
$$y^a \circ \Phi: X \to \mathbb{R}, \quad x \mapsto y^a(\Phi(x)) =: \Phi^a(x)$$
即，记$\Phi^a := y^a \circ \Phi$ 是 $\Phi$ 的第 $j$ 个分量函数。
这部分信息是由 $\Phi$ 和 $y^j$ 给出的，在当前语境下是已知信息

结论：$\text{d}\Phi ^a(v) = v^i \frac{\partial}{\partial x^i} [\Phi^a(x)]$

比较等式两边，我们得到：$$\boxed{\text{d}\Phi ^a(v) = v^i \frac{\partial}{\partial x^i} [\Phi^a(x)]}$$

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III. 结论

结论：切映射的局部坐标表达为

$$\boxed{\text{d}\Phi ^a(v) = v^i \frac{\partial}{\partial x^i} [\Phi^a(x)]}$$

结论（另一种表述）

$$\boxed{\text{d}\Phi(v) = \left( v^i \frac{\partial \Phi^a}{\partial x^i} \right) \frac{\partial}{\partial y^a}}$$

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如果将 $v^i$ 视作一个（ $n$ 行）列矩阵（考虑到在不存在前后关系的情况下，我们一般将上指标视为行标），那么 $\text{d}\Phi|x$ 的坐标表示可以视为一个 $m\times n$ 的矩阵，则上式可以视为一个矩阵乘法表达式：$$\text{d}\Phi(v) =(\partial_a)(\text{d}\Phi^a{\, i})(v^i)$$其中 $(\text{d}\Phi ^a {\,i})$ 是一个 $m\times n$ 矩阵，$(v^i)$ 是一个 $n\times 1$ 矩阵；因此 $(\text{d}\Phi^a{\, i})(v^i)$ 是一个 $m\times 1$ 矩阵；而 $\partial_a = (e_1 , e_2, …, e_m)$ （可以想像为）是 $T_{\Phi(x)}Y$ 上的基向量排成的 $1\times m$ 矩阵 ；因此整个矩阵积得到的确实是 $T_{\Phi(x)}Y$ 上的切向量。

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直观表述：两个光滑流形间的映射对应的切映射 $\mathrm{d}\Phi: TX \to TY$ ，在局部坐标下的表达就是流形映射 $\Phi$ （对应的坐标映射）的雅可比矩阵（Jacobian matrix）

更准确地说：

• 在局部坐标图中：
  • 若 $x^i$ 是 $X$ 上的坐标；
  • $y^a$ 是 $Y$ 上的坐标；
  • 且 $\Phi$ 的局部表达为：$$y^a = \Phi^a(x^1, \dots, x^n)$$
• 那么 $\mathrm{d}\Phi|x: T_x X \to T{\Phi(x)} Y$ 是一个线性映射，其在基底 $\left{ \frac{\partial}{\partial x^i} \right}$ 与 $\left{ \frac{\partial}{\partial y^a} \right}$ 下的矩阵表示就是：$$J^j{}_i(x) := \frac{\partial \Phi^a}{\partial x^i}$$也就是说：

$$\boxed{
\mathrm{d}\Phi|_x(v) = \left( \frac{\partial \Phi^a}{\partial x^i}(x) \cdot v^i \right) \frac{\partial}{\partial y^a}
}$$

记号体系延伸：坐标变换与雅各比矩阵

这也是为什么物理中也常常将坐标变换 $\Phi$ 诱导的雅各比矩阵 $J$ 记作 $\text{d}\Phi$：$$J^{i}{\, j}=(\text{d}\Phi)^i{\,j}:=\frac{\partial \Phi^i}{\partial x^j}$$其中 $\Phi^i: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ 是坐标变换的分量表示

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IV. 另一种求解思路

（1）由于 $\text{d}\Phi|x:T_xX\to T{\Phi(x)}Y$ 是线性映射，要求其对任意切向量作用的坐标表示，只需确定它对该点的切向量基的作用效果，即 $\text{d}\Phi_x(\frac{\partial}{\partial x^i})$

（2）类似上一种方法的过程，只需在切映射的定义性质 $\text{d}\Phi(v)[h]=v[h\circ \Phi]$ 中代入 $h=y^a$ 即可

（3）LHS = $\text{d}\Phi_x(\partial_i)[y^a]$，RHS = $\partial_i [\Phi^a]$

（4）我们的目标是求 $\text{d}\Phi_x(\partial_i) = (\text{d}\Phi_x)^b_{\,i}\partial_b$

（5）将目标式两端都作用于 $y^a$，得到 $\text{LHS}{\text{traget}}=\text{LHS}$，$\text{RHS}{\text{target}}= (\text{d}\Phi_x)^a_{\,i}$

（6）由于目标式左边等于原式左边，可知目标式右边等于原式右边，因此有 $(\text{d}\Phi_x)^a_{\,i} = \partial_i [\Phi^a]$

（7）回代回目标式得到 $\text{d}\Phi_x(\partial_i) = \partial_i [\Phi^a] \partial_a$

结论

$$\boxed{\text{d}\Phi_x(\partial_i) = \partial_i [\Phi^a] \partial_a}$$将 $X$ 上的任意切向量 $v=v^i \partial_i$ 代入可恢复第一种方法得到的结论 $$\boxed{\text{d}\Phi(v)=v^i\frac{\partial \Phi^a}{\partial x^i}\cdot \frac{\partial }{\partial y^a}}$$

V. 切映射的坐标表示：示例

设 $\Phi: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$，定义为极坐标变换：

$$
\Phi(r,\theta) = (x, y) = (r \cos \theta, r \sin \theta)
$$

则：

• 输入切向量 $v = a \frac{\partial}{\partial r} + b \frac{\partial}{\partial \theta} \in T_{(r,\theta)} \mathbb{R}^2$
• 输出为： $$
  d\Phi(v) = \left( a \cos\theta – b r \sin\theta \right) \frac{\partial}{\partial x}
• \left( a \sin\theta + b r \cos\theta \right) \frac{\partial}{\partial y}
  \in T_{(x,y)}\mathbb{R}^2
  $$

这就是坐标变换下的切向量变换。

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四、截面 $\Phi:X\to Y$ 的切映射 $\text{d}\Phi: TX\to TY$

对于任意流形间的光滑映射 $\Phi : X\to Y$，尽管其诱导的 切映射 $\text{d}\Phi:TX \to TY$ 天然是丛映射；但在切映射的定义中，并没有要求光环流形 $X,Y$ 是一个纤维丛的底空间和总空间，$\Phi$ 未必是纤维丛的截面。
但是，在理论力学语境下，我们更关心这样一类切映射：诱导该切映射的光滑映射 $\Phi$ 是一个纤维丛 $\pi: Y\to X$ 上的截面 $\Phi: X\to Y$.

I. 截面切映射的定义和直观理解

给定一个光滑映射 $\Phi: X \to Y$，我们可以定义其 切映射 $\text{d}\Phi: T_xX \to T_yY$，它描述了在点 $x \in X$ 处的微小变化如何通过 $\Phi$ 影响点 $y = \Phi(x) \in Y$。

切映射 $\text{d}\Phi$ 是一个从 $T_xX$ 到 $T_yY$ 的线性映射，它将底空间 $X$ 上的切向量映射到总空间 $Y$ 上的切向量。在几何上，$\text{d}\Phi$ 描述了底空间 $X$ 和总空间 $Y$ 中相应点的变化率。

II. 截面的切映射 $\text{d}\Phi|_x \in \mathrm{Hom}(T_xX, V_yY)$

• $T_xX$ 是底空间 $X$ 上点 $x$ 的切空间。
• $V_yY$ 是总空间 $Y$ 上点 $y$ 处的垂直子空间，即与投影映射 $\pi: Y \to X$ 垂直的切空间。

我们指出（稍后证明）：$\text{d}\Phi$ 是一个从底空间切空间 $T_xX$ 到总空间垂直空间 $V_yY$ 的线性映射。它满足线性映射的性质，并且通过映射 $T_xX$ 中的向量到 $V_yY$ 中的向量来实现。

（1）对任意切映射（不需要是截面的切映射），都有 $\text{d}\Phi|x: T_xX \to T{\Phi(x)}Y$

（2）截面切映射对坐标基向量的作用

引用 切映射 $\text{d}\Phi|x$ 作用于 $X$ 的局部坐标基向量 ${\partial_i}$ 的效果 的结论，即：$$\boxed{\text{d}\Phi_x(\partial_i) = \partial_i [\Phi^a] \partial_a}$$在该式中，若 $\Phi:X\to Y$ 是一个截面，则等式右边$$\frac{\partial \Phi^a}{\partial x^i}\cdot \frac{\partial}{\partial y^a}=\frac{\partial \Phi^j}{\partial x^i}\cdot \frac{\partial}{\partial x^j}+\frac{\partial \Phi^{\mu}}{\partial x^i}\cdot \frac{\partial}{\partial y^\mu}=\partial_i +\frac{\partial\Phi^\mu}{\partial x^i}\cdot \partial\mu$$它的含义是：

• 第一项 $\partial_i$：表示在 $Y$ 中沿着 $x^i$ 的方向前进；
• 第二项 $\frac{\partial \Phi^\mu}{\partial x^i} \cdot \partial_\mu$：表示前进时会附带地沿着纤维方向“上浮”或“下沉”。

想象你在一个山坡上散步，$x^i$ 是地面的坐标，而 $y^\mu$ 是山坡的高度。

• 沿 $x^i$ 方向前进时，你的路径不仅在地面上移动（$\partial_i$），也可能随着山坡的斜率 $\frac{\partial \Phi^\mu}{\partial x^i}$ 而向上或向下（$\partial_\mu$）。
• 你并没有完全“离开”地面，而是“贴着地形”走，这种“贴地而动”的方式就是截面的几何本质。

一个截面的切映射并不单纯平行于底空间，而是沿底空间方向前进的同时，根据纤维方向的变化斜率向上或向下“偏移”

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五、物理示例：二维质点

自由粒子在二维空间中运动，轨迹为：

$$\phi(t) = (t, x(t), y(t))$$

则：

• 微分映射为：$$d\phi(t): \partial_t \mapsto (1, \dot{x}(t), \dot{y}(t))
  \in T_{\phi(t)} Y$$
• 拉格朗日函数定义在此点上：$$L(t, x, y; \dot{x}, \dot{y}) = \tfrac{1}{2} m (\dot{x}^2 + \dot{y}^2)$$

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六、与 Jet 丛的联系

Jet 丛 $J^1Y$ 会将：

“位置 $q(t)$” 和 “速度 $\dot{q}(t)$” 一起打包进几何结构中，

而 $d\phi$ 是构造 Jet 延拓 $j^1\phi$ 的起点。

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小结

项目	内容
定义	$d\Phi: TX \to TY$
坐标表示	$\text{d}\Phi(v)=v^i\frac{\partial \Phi^a}{\partial x^i}\cdot \frac{\partial }{\partial y^a}$
几何意义	描述轨迹的“速度向量”如何嵌入丛中
在力学中	是运动速度的编码；拉格朗日函数的输入之一
后续用途	构造 Jet 延拓、泛函导数、欧拉-拉格朗日方程等

C01 是本节的前置知识，尽管在编排上靠后，仍应先阅读 C01

目的：把“截面在一点的值 + 它的一阶导数信息”打包成一个全局几何对象。
在拉格朗日力学中，拉格朗日密度 $L$ 就定义在 $J^1Y$ 上。

我们将按以下结构讲解：

1. 动机：为什么需要 Jet 丛
2. 概念准备：截面在点的“一阶等价”
3. 严格定义：一阶 jet，一阶jet空间，和一阶 Jet 丛 $J^1Y$
4. 投影与丛结构（$J^1Y \to Y$，$J^1Y \to X$）
5. 局部坐标表达 $(x^\mu, y^a, y^a_\mu)$
6. 作为仿射丛：$J^1Y$ ≅ affine bundle modeled on $\mathrm{Hom}(T_xX, V_yY)$
7. Jet 延拓 $j^1\phi$（如何把轨迹提升进 $J^1Y$）
8. 物理示例：一维时间底 → 速度坐标
9. 小结表

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一、Jet 丛：构建动机

我们已经有：

• 构型丛 $\pi: Y \to X$
• 截面 $\Phi: X \to Y$
• 微分 $\text{d}\Phi: TX \to TY$

出发点：不同的截面若在某点取值相同、导数也相同，它们在“拉格朗日密度的局部计算”上应是不可区分的。我们希望将这些不可区分的截面归于一个等价类，再研究所有等价类构成的整体，并建立相关几何结构。

Step 1：给定一个点 $x \in X$，定义局部截面构成的集合 $\mathcal{S}_x$

在该点 $x$ 附近，考虑在某邻域 $U \ni x$ 上定义的光滑局部截面：
$$\Phi: U \to E, \quad \text{使得 } \pi \circ \Phi = \text{id}_U$$
所有满足该条件的这些局部截面 （$\Phi,\Psi,…$）构成集合 $\mathcal{S}_x$ （显然， $\mathcal{S}$ for sections）。

Step 2：在集合 $\mathcal{S}_x$ 上定义（一阶）等价关系 $\sim _x^1$

我们说两个局部截面 $\Phi, \Psi \in \mathcal{S}_x$ 是一阶等价的，记作：
$$\Phi \sim_x^1 \Psi \quad \Longleftrightarrow \quad \Phi(x) = \Psi(x)\ \text{且}\ \mathrm{d}\Phi|_x = \mathrm{d}\Psi|_x$$
这个等价关系由两个信息决定：

• 截面在该点的取值：$\Phi(x) \in E_x$
• 截面在该点的导数：$\mathrm{d}\Phi|x: T_xB \to T{\Phi(x)}E$，并满足丛结构的兼容性条件（即 $\pi \circ \Phi = \text{id}U$ 蕴含 $\mathrm{d}\pi \circ \mathrm{d}\Phi = \text{id}{T_xB}$）

导数 = 切映射

Step 3：由等价关系定义等价类 $j^1_x\Phi$ ( 代表元是 $\Phi$)，一个该等价类称为一个“一阶 jet”

因此我们常将 Jet 等价类表示为三元组：$$\boxed{j^1_x \Phi = \left(x,\ y^a = \Phi^a(x),\ y^a_i = \frac{\partial \Phi^a}{\partial x^i}(x)\right)}$$分别代表：

• $x$ label 了定义该等价类的集合 $\mathcal{S}_x$，即改等价类包含的元素是点 $x\in X$ 上的局部截面，定义该等价类的数据是截面在该点 $x$ 上的数据
• $y^a$ 代表等价类内所有截面（等价于代表截面）在该点的取值 $\Phi(x)$ 的局部坐标表示 $\Phi^a(x)$
• $y^a_{\, i}$ 代表等价类内所有截面（等价于代表截面）在该点的导数 $\text{d}\Phi (x)$ 的局部坐标表示 $(\text{d}\Phi)^a_{\, i}$ （也就是该截面作为流形间映射 $\Phi: X\to Y$ 的 切映射 $\text{d}\Phi: TX \to TY$ 在该点的取值；若将 $\Phi$ 的坐局部坐标表示 $\Phi^a$ 视为坐标变换，则 $y^a_{\, i}$ 就是坐标变换的雅各比矩阵在该点的取值）

Step 4：该等价关系定义的商空间 $J^1_x := \mathcal{S}_x/ \sim ^i_x$，称为该点的“一阶 jet 空间”

Step 5：商空间 $J^1_x$ 的不交并 $J^1$ ，称为“一阶 Jet 丛”，其上的纤维即 $J^1_x$

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二、一阶 jet

I. 一阶 jet $j^1_x(s)$ ：是以截面 $s$ 为代表元的，由等价关系 $\sim_x^1$ 定义的等价类

设 $\pi: Y \to X$ 是一个光滑纤维丛，$x \in X$ 是一个固定点。
考虑所有在某个开邻域 $U \subset X$ 上定义的截面 $s: U \to Y$，我们希望定义它们在点 $x$ 的“一阶 jet”

我们定义如下等价关系：
设 $s_1, s_2: U \to Y$ 是两个截面，若满足：

1. $s_1(x) = s_2(x)$；
2. 对于任意局部坐标系统 $(x^i, y^a)$，有
   $$
   \left. \frac{\partial (y^a \circ s_1)}{\partial x^i} \right|_x
   =
   \left. \frac{\partial (y^a \circ s_2)}{\partial x^i} \right|_x
   $$

则称 $s_1$ 与 $s_2$ 在 $x$ 处一阶等价，记作 $s_1 \sim^1_x s_2$

定义：

截面 $s$ 在 $x$ 处的一阶 jet，记作 $j^1_x s$，是 $s$ 在 $x$ 处的一阶等价类：$$j^1_x s := [s]_x^1 := { \tilde{s} \mid \tilde{s} \sim^1_x s }$$

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II. 一阶等价关系 $\sim^1_x$ ：坐标无关定义

设 $\pi: Y \to X$ 是一个光滑纤维丛，$x \in X$。
我们考虑所有在某邻域 $U \ni x$ 上定义的截面 $s: U \to Y$，也就是满足 $\pi \circ s = \mathrm{id}_U$ 的光滑映射 $s$。

由于 $s$ 是一个从 $X$ 到 $Y$ 的光滑映射，我们可以考虑其在 $x$ 点的切映射：$$\text{d}s|x: T_xX \to T{s(x)}Y$$并要求该映射满足切映射的定义性质：$$\text{d}s|_x(v)[h]=v[h\circ s]$$

在该语境下可以给出 两个截面在某点一阶等价 定义的另一种表述如下：
对于两个在 $x$ 附近定义的截面 $s_1, s_2: U \to Y$，若满足

1. $s_1(x) = s_2(x)$；
2. 它们诱导的切映射在该点相等，即：$$ds_1|x = ds_2|_x : T_xX \to T{s(x)}Y$$
   则称 $s_1$ 与 $s_2$ 在 $x$ 点一阶等价，记作：
   $$
   s_1 \sim^1_x s_2
   $$

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此定义自然导出一阶 jet：
$$j^1_x s := \text{等价类 } [s]_x^1 = { \tilde{s} \mid \tilde{s} \sim^1_x s }$$

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三、一阶 Jet 空间 $J^1_xY$

$x\in X$ 处的一阶 jet 空间 $J^1_x Y$

设 $\pi: Y \to X$ 是一个光滑纤维丛。
我们定义在每个点 $x \in X$ 上的一阶 jet 空间为：
$$
J^1_x Y := \left{ j^1_x s \mid s \text{ 是在 } x \text{ 的邻域内定义的局部截面} \right}
$$
可以认为该空间是

$J^1_xY$ 是局部截面在点 $x$ 的一阶等价关系 $\sim^1_x$ 下的商空间 $J^1_x J =\mathcal{S}_x/\sim ^1_x$

设 $\pi: Y \to X$ 是一个光滑纤维丛，$x \in X$。
记：

• $\Gamma_x := \left{ s \in \Gamma(U, Y) \mid x \in U \right}$ 为所有在 $x$ 点邻域中定义的局部截面；
• 在 $\Gamma_x$ 上定义一阶等价关系 $\sim^1_x$，即：
  $$
  s_1 \sim^1_x s_2 \iff \left( s_1(x) = s_2(x) \text{ 且 } ds_1|_x = ds_2|_x \right)
  $$

则我们定义一阶 jet 空间为商集：
$$
J^1_xY := \Gamma_x / \sim^1_x
$$

即，$J^1_xY$ 是所有局部截面在 $x$ 点的一阶等价类空间。

一阶 Jet 丛就是一阶 Jet 空间 $J^1_x Y$ 的不交并

进一步地，整条一阶 Jet 丛是商空间族的并：
$$
J^1Y := \bigsqcup_{x \in X} \Gamma_x / \sim^1_x
$$

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四、 一阶 Jet 丛 $J^1 Y$

I. 一阶 Jet 丛 $J^1 Y$ ：定义

设 $\pi: Y \to X$ 是一个光滑纤维丛。
我们定义一阶 Jet 丛 $J^1Y$ 为：
$$
J^1Y := \bigsqcup_{x \in X} J^1_xY
$$
其中 $J^1_xY$ 是所有在点 $x$ 处局部截面的等价类（即一阶 jets）组成的集合。

这个集合带有两个自然投影：

1. 到总空间的投影：$$\pi_{1,0}: J^1Y \to Y,\quad j^1_x s \mapsto s(x)$$它记录了 jet 的值。
2. 到底空间的投影：$$\pi_1: J^1Y \to X,\quad j^1_x s \mapsto x$$它记录了 jet 的基点。

II. $J^1 Y$ 上的两个自然投影

设 $\pi: Y \to X$ 是一个光滑纤维丛。我们定义了一阶 Jet 丛为：
$$
J^1Y := \bigsqcup_{x \in X} J^1_xY
$$
其中 $J^1_xY$ 是点 $x$ 处所有局部截面 $s$ 的一阶等价类 $j^1_x s$ 构成的集合（称为 $x$ 上的一阶jet空间）。

这个丛上有两个自然的投影映射：

（1）到总空间的投影 $\pi_{1,0}$（target projection）（是仿射丛投影）

可以构造这样的投影，它将 $J^1Y$ 上的每个点（也就是一个一阶jet $j^1_x(s)$，也就是某点 $x$ 上的一个截面等价类）投影到定义该等价类时用到的“截面在该点的函数值 $s(x)\in Y$”（回顾：定义该等价类用到了截面在该点的函数值和导数值）。下面是该投影的严格定义

定义：$$\pi_{1,0}: J^1Y \to Y, \quad j^1_x s \mapsto s(x)$$

• 它保留了一阶 jet 的“函数值”；
• 即把 jet 映射回它所来自的截面在 $x$ 处的像；
• $\pi_{1,0}$ 并不是纤维丛投影，但它是一个光滑映射；
• 它覆盖了底空间上的 $\pi$，即有：$$\pi \circ \pi_{1,0} = \pi_1$$

（2）到底空间的投影 $\pi_1$（base projection）构成纤维丛投影

定义：$$\pi_1: J^1Y \to X, \quad j^1_x s \mapsto x$$

• 它保留了一阶 jet 的基点；
• $\pi_1$ 是一个光滑的子流形间的投影映射；
• $J^1Y$ 在 $\pi_1$ 下成为 $X$ 上的一个光滑纤维丛；
• 每根纤维为一个一阶 Jet 空间 $J^1_x Y$：
  $$
  J^1_xY := \pi_1^{-1}(x)
  $$

该投影使空间 $J^1 Y$ 真正构成一个 纤维丛， 称为 一阶Jet丛，该丛的底空间就是原丛的底空间 $X$，且 每条纤维 就是一个 一阶 Jet 空间 $J^1_x Y:= {j^1_x(s)}$

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III. $J^1Y$ “丛上的”局部坐标

为了使 $J^1Y$ 成为光滑流形，并成为 $X$ （或 $Y$ ） 上的一个光滑丛，我们定义其局部坐标如下：

设 $(x^i)$ 是 $X$ 上的局部坐标，$(x^i, y^a)$ 是 $Y$ 上从属局部坐标系统。则一阶 Jet 元素 $j^1_x s$ 可由如下数据表示：$$\left(x^i, y^a, y^a_{\,i} \right)
\quad \text{其中 } y^a_{\,i} := \left. \frac{\partial y^a \circ s}{\partial x^i} \right|_x$$其中：

• $x^i$ 表示 $j^1_x(s)$ 所处的底空间点 $x$ 的局部坐标
• $y^a$ 表示 $j^1_x(s)$ 的代表元 $s$ 在该点的取值 $s(x) \in Y$ 的局部坐标
• $y^a_{\, i}$ 表示 $j^1_x(s)$ 的代表元 $s$ 在该点的切映射 $\text{d}s$ 的局部坐标表示，即雅可比矩阵 $\frac{\partial s^a}{\partial x^i}$ 在该点 $x$ 的取值

于是：

$J^1Y$ 作为光滑流形的局部坐标为 $(x^i, y^a, y^a_i)$，并构成从 $J^1Y$ 到 $X$ 的一个光滑纤维丛：$$\pi_1: J^1Y \to X$$

IV. $J^1Y$ 上的点

将上述局部坐标表述抽象化：
一阶 Jet 丛上的一个点可以表述为 $(x, s(x), \mathrm{d}s(x))$，这种表述具有很好的几何和物理直观
即，一阶 Jet 丛 $J^1Y$ 上的一个点是一个一阶 jet $j^1_x(s)$ ，它包含以下三层信息：

• $x$：底空间 $X$ 中的点；
• $s(x)$：截面 $s$ 在点 $x \in X$ 处的值，表示 $s$ 对应的“位置数据”
• $\mathrm{d}s(x)$：截面 $s$ 在点 $x \in X$ 处的导数信息，表示截面在该点的切向量

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五、 $J^1Y$ 的丛结构

• $\pi_1: J^1Y \to X$ 是一个纤维丛，其纤维 $(\pi_1)^{-1}(x)$ 是所有可能的一阶 jet 数据。$$\pi_a:(x,s(x),\text{d}s(x))\mapsto x\in X$$
• $\pi_{1,0}: J^1Y \to Y$ 是一个 仿射丛（affine bundle）：$$\pi_{1,0}: (x,s(x),\text{d}s(x))\mapsto s(x)$$在给定 $y = \Phi(x)$ 后，不同的一阶导数形成一个以 $\mathrm{Hom}(T_xX, V_yY)$ 为模型空间的仿射空间

如果你的目标是构造动力系统或描述截面空间结构（比如在 PDE 理论中），$\pi_1$ 很重要；
但 在拉格朗日力学、变分结构和场论中，$\pi_{1,0}: J^1Y \to Y$ 是核心丛结构，因为它支持“固定值点 $y$、变化导数”的分析方式，因此我们在下一届详细讲解丛 $\pi_{1,0}: J^1 Y \to Y$

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六、$\pi_{1,0}:J^1Y \to Y$ 是仿射丛

I. 每个点上的纤维都是仿射空间

（1）放射丛投影 $\pi: J^1Y \to Y,\quad j^1_x(s)\to s(x)$

（2）确定纤维结构

对于任意 $y_0 \in Y$，其在 $J^1Y$ 中的纤维为：
$$E_{y_0} := \left{ j^1_x(s) \mid s(\pi(y_0)) = y_0 \right}$$
即所有满足 $s(x) = y_0$ 且 $x = \pi(y_0)$ 的一阶 Jet 组成的集合。我们可以将其理解为：
$$E_{y_0} = \left{ j^1_x(s) = \left( x, y_0, \text{d}s|_x \right) \right}$$
其中 $x = \pi(y_0)$，而 $s$ 是在 $x$ 的邻域内光滑定义的局部截面。该集合中：

• 所有 Jet 元素的取值点 $x$ 与其值 $y_0$ 已被固定；
• 唯一自由的部分是导数 $\text{d}s|_x$，即 Jet 的导数信息。

（2‘）换言之，对于一条纤维上的元素（一阶 jet 们），元素的自由度体现在 jet 的代表截面 $s$ 在该点 $\pi(y_0)$ 的切映射的值 $\text{d}s|_{\pi(y_0)}$

（3）证明纤维 $E_{y_0} = {j^1_x(s) = (\pi(y_0),y_0,\text{whatever})}$ 是仿射空间，即证明它放射同构于一个模型空间（向量空间）

定义模型空间
我们选择以下向量空间作为模型空间：
$$V := \mathrm{Hom}(T_xX, V_{y_0}Y)$$
其中：

• $x = \pi(y_0)$；
• $V_{y_0}Y$ 是纤维丛投影 $\pi: Y \to X$ 在 $y_0$ 处的垂直子空间（即 $\ker(\text{d}\pi_{y_0})$）；
• $T_xX$ 是底空间 $X$ 上点 $x$ 的切空间。

（4）证明纤维是仿射空间，即证明存在仿射同构 $f$ 使纤维仿射同构于一个向量空间

定义一个映射：
$$\boxed{f: E_{y_0} \to V,\quad j^1_x(s) \mapsto \text{d}s|_x^{\text{vert}}}$$
即将 Jet 元素映射到其代表截面 $s$ 的切映射 $\text{d}s|_x$ 在垂直子空间中的投影部分。注意此处：

• $\text{d}s|x: T_xX \to T{y_0}Y$ 是一个线性映射；
• 但由于 $s(x) = y_0$ 被固定，$\text{d}s|_x$ 在投影方向 $\text{d}\pi$ 上的变化被约束；
• 因此我们只考虑其在 $\ker(\text{d}\pi_{y_0}) = V_{y_0}Y$ 上的分量，记作 $\text{d}s|_x^{\text{vert}}$。

该映射 $f$ 是仿射映射，其模型线性映射是：
$$j^1_x(s_2) – j^1_x(s_1) \mapsto \text{d}s_2|x^{\text{vert}} – \text{d}s_1|_x^{\text{vert}}\in V{y_0}Y$$

（4’）选择映射 $f: E_{y_0} \to V,\quad j^1_x(s) \mapsto \text{d}s|_x^{\text{vert}}$ 作为仿射同构的原因

一方面当然是因为我们对模型空间的选择$$V := \mathrm{Hom}(T_xX, V_{y_0}Y)$$但话说回来我们选择该空间作为模型空间的动机呢？在此我们作简要解释

设 $s: X \to Y$ 是一个截面，满足：
$$\pi \circ s = \text{id}X$$ 对该等式取切映射，有： $$\text{d}(\pi \circ s)_x = \text{d}\pi{s(x)} \circ \text{d}s_x = \text{id}{T_xX}$$ 即： $$\boxed{\text{d}\pi{s(x)} \circ \text{d}s_x = \text{id}}$$
这说明：

• $\text{d}s_x$ 是 $\text{d}\pi$ 的一个右逆（right inverse）；
• 因此，$\text{d}s_x$ 的像不能随意落在 $T_{y_0}Y$ 的任意方向，而是必须与 $\text{d}\pi$ 组合成恒等映射；
• 也就是说，$\text{d}s_x$ 的像必须分解为：$$\text{d}s_x =
  \underbrace{\text{d}s_x^{\parallel}}{\text{被 } \text{d}\pi \text{控制}} + \underbrace{\text{d}s_x^{\perp}}{\text{自由部分}}$$其中：
• $\text{d}s_x^{\parallel}$ 是 $\text{d}\pi$ 的某种截面（右逆），是由截面结构决定的，不是自由参数；
• $\text{d}s_x^{\perp}$ 是落在 $\ker(\text{d}\pi_{y_0}) = V_{y_0}Y$ 中的分量，是 Jet 中可独立变化的部分。

（4‘’）如果该构造的动机仍不够清晰，回顾截面的切映射的坐标表示（考虑截面切映射作用于坐标基向量）

引用 切映射 $\text{d}\Phi|x$ 作用于 $X$ 的局部坐标基向量 ${\partial_i}$ 的效果 的结论，即：$$\boxed{\text{d}\Phi_x(\partial_i) = \partial_i [\Phi^a] \partial_a}$$在该式中，若 $\Phi:X\to Y$ 是一个截面，则等式右边$$\frac{\partial \Phi^a}{\partial x^i}\cdot \frac{\partial}{\partial y^a}=\frac{\partial \Phi^j}{\partial x^i}\cdot \frac{\partial}{\partial x^j}+\frac{\partial \Phi^{\mu}}{\partial x^i}\cdot \frac{\partial}{\partial y^\mu}=\partial_i +\frac{\partial\Phi^\mu}{\partial x^i}\cdot \partial\mu$$它的含义是：

• 第一项 $\partial_i$：表示在 $Y$ 中沿着 $x^i$ 的方向前进；
• 第二项 $\frac{\partial \Phi^\mu}{\partial x^i} \cdot \partial_\mu$：表示前进时会附带地沿着纤维方向“上浮”或“下沉”。

我们发现 只有第二部分包含关于 $\Phi$ 的信息，换言之，$\text{d}\Phi$ 中沿 $\partial/\partial x^i$ 部分的内容不带有截面的信息，只有沿 $\partial/\partial y^{\mu}$ 部分包含关于截面的信息

（5）证明该映射是仿射同构

我们需验证以下三点：

• $f$ 是良定义的，即对每个 Jet 元素，其对应的 $\text{d}s|_x^{\text{vert}}$ 存在并唯一；
• $f$ 是满射：任意一个 $\varphi \in \mathrm{Hom}(T_xX, V_{y_0}Y)$ 都可以构造一个截面 $s$，使得 $s(x) = y_0$ 且 $\text{d}s|_x^{\text{vert}} = \varphi$；
• $f$ 是仿射结构保形的，即 $E_{y_0}$ 上两个 Jet 元素的差 $j^1_x(s_2) – j^1_x(s_1)$ 被 $f$ 映射为导数之差。
  由此，$E_{y_0}$ 与 $\mathrm{Hom}(T_xX, V_{y_0}Y)$ 仿射同构，构成仿射空间。

II. $J^1Y$ 的模型丛

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七、Jet 延拓 $j^1\Phi: X \to J^1Y$

给定截面 $\phi: X \to Y$，我们可以将它提升到一阶 Jet 丛：

定义（Jet 延拓）$$j^1\phi: X \to J^1Y,\qquad x \mapsto j_x^1\phi.$$

在坐标中：$$j^1\phi(x) = \big(x^\mu,\, y^a(x),\, \partial_\mu y^a(x)\big).$$

这就是把“轨迹 + 一阶导数”打包成一个新的丛截面。

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八、物理示例

我们继续使用粒子在平面中运动的例子。

• 时间底空间：$X = \mathbb{R}$，坐标 $t$；
• 构型空间：$Q = \mathbb{R}^2$，坐标 $(x, y)$；
• 构型丛：$Y = \mathbb{R} \times \mathbb{R}^2$，坐标 $(t, x, y)$；
• 截面：$\phi(t) = (t, x(t), y(t))$。

则：

• 一阶 Jet 丛坐标：$(t, x, y, x_t, y_t)$（这里 \$x_t = \frac{dx}{dt}\$ 等）；
• Jet 延拓： $$
  j^1\phi(t) = \big(t, x(t), y(t), \dot{x}(t), \dot{y}(t)\big).
  $$

拉格朗日函数就定义在这一空间上：

$$
L: J^1Y \to \mathbb{R},\qquad
L(t, x, y, x_t, y_t) = \tfrac{1}{2} m (x_t^2 + y_t^2) – V(x,y).
$$

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总结

项目	内容
一阶 jet	截面在点处值与一阶导数的等价类
$J^1Y$	所有 1-jet 的集合，带自然流形结构
投影	$\pi_1: J^1Y \to X$，$\pi_{1,0}: J^1Y \to Y$
仿射结构	$J^1Y \to Y$ 是仿射丛，模型空间 $\mathrm{Hom}(T_xX, V_yY)$
局部坐标	$(x^\mu, y^a, y^a_\mu)$
Jet 延拓	$j^1\phi(x) = (x^\mu, y^a(x), \partial_\mu y^a(x))$
力学应用	$L$ 定义在 $J^1Y$ 上；轨迹提升用于变分

设 $\pi: Y \to X$ 是一个光滑纤维丛，$\Phi: X \to Y$ 是一个 局部截面，即满足：
$$\pi \circ \Phi = \text{id}_X$$
我们可以定义该截面的一阶 Jet 延拓（Jet prolongation）：
$$\boxed{j^1\Phi: X \to J^1Y}$$
它将 $X$ 中的每个点 $x \in X$ 映射到该截面在 $x$ 点处的一阶 jet：
$$x \mapsto j^1_x\Phi$$

一、一阶 jet 延拓 $j^1\Phi$：定义

Jet 延拓 $j^1\Phi$ 是将截面 $\Phi$ 本身提升到 Jet 丛 $J^1Y$ 中的映射，定义为：
$$\boxed{j^1\Phi(x) := j^1_x\Phi}$$也就是说，$j^1\Phi$ 是一个从 $X$ 到 $J^1Y$ 的映射，满足：

• 对每个 $x \in X$，$j^1\Phi(x)$ 是 $\Phi$ 在 $x$ 的一阶 jet；
• $j^1\Phi$ 自然地满足投影条件：$$\pi_1 \circ j^1\Phi = \text{id}X,\quad \pi{1,0} \circ j^1\Phi = \Phi$$ 即：
• $j^1\Phi$ 是 $J^1Y \to X$ 的一个截面；
• 它“延拓”了原始截面 $\Phi$，并编码了其一阶导数信息。

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二、$j^1\Phi$：局部坐标表示

设：

• 底空间 $X$ 上的局部坐标为 $(x^i)$；
• 总空间 $Y$ 上的从属局部坐标为 $(x^i, y^\mu)$，其中：
• $x^i$ 描述底空间方向；
• $y^\mu$ 描述纤维方向（即每条 $\pi^{-1}(x)$ 上的局部坐标）；
• 截面 $\Phi: X \to Y$ 的局部表达为：$$ \Phi(x) = (x^i, \Phi^\mu(x))$$即，$\Phi^\mu(x)$ 是截面 $\Phi$ 在纤维方向的坐标表示。

则其一阶 Jet 延拓 $j^1\Phi: X \to J^1Y$ 的局部表达为：$$\boxed{
j^1\Phi(x) = \left(x^i, \Phi^\mu(x), \frac{\partial \Phi^\mu}{\partial x^i}(x) \right)
}$$即：$j^1\Phi$ 把每个点 $x \in X$ 映射到三组数据：

• 原始坐标 $x^i$；
• 值 $\Phi^\mu(x)$（即 $\Phi(x)$ 在纤维方向上的取值）；
• 导数 $\frac{\partial \Phi^\mu}{\partial x^i}(x)$（即 $\text{d}\Phi_x$ 在纤维方向上的雅可比分量）。
  这个三元组也可以写成 $$(x^i,\Phi^a(x),\frac{\partial \Phi^a}{\partial x^i})(x)$$因为该形式并不比上面的形式提供更多关于 $\Phi$ 的信息

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三、几何解释

Jet 延拓 $j^1\Phi$ 将原本“只有位置”的映射 $\Phi$ 拓展为“位置 + 一阶速度”的信息：

• 原映射 $\Phi$：$x \mapsto \Phi(x)$ 是点 $y \in Y$；
• 延拓映射 $j^1\Phi$：$x \mapsto j^1_x\Phi$ 是包含 $\Phi(x)$ 及其切映射 $\text{d}\Phi_x$ 的 jet 数据。
  因此，Jet 延拓是将截面映射提升至 Jet 丛中的“导数图像”。

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性质小结

• $j^1\Phi: X \to J^1Y$ 是 $J^1Y \to X$ 的一个光滑截面；
• 它将 $\Phi$ 的所有导数信息封装为点 $j^1_x(\Phi)$；
• 若 $J^1Y$ 被视为仿射丛，则 $j^1\Phi$ 给出了该仿射丛上的规范截面；
• Jet 延拓是后续变分法（如拉格朗日函数作用在 Jet 延拓上）等几何物理结构的基础操作。